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数学3 微分の基本問題 17 解説

方針・初手

$x=a$ における微分係数の定義式 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ に $f(x) = \cos x$ を代入する。与えられた極限の公式 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を利用できる形にするために、分子の $\cos(a+h) - \cos a$ に対して三角関数の和積の公式や加法定理を用いて式変形を行う。

解法1

微分係数の定義より、求める値は以下の極限である。

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(a+h) - \cos a}{h}$$

分子に和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いる。

$$\begin{aligned} f'(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin \frac{(a+h)+a}{2} \sin \frac{(a+h)-a}{2}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin \left(a + \frac{h}{2}\right) \sin \frac{h}{2}}{h} \end{aligned}$$

ここで、与えられた公式を利用するために形を整える。

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \left\{ -\sin \left(a + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \right\}$$

$h \to 0$ のとき $\frac{h}{2} \to 0$ であるから、問題の条件より $\lim_{h \to 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = 1$ が成り立つ。したがって、極限を計算する。

$$f'(a) = -\sin (a + 0) \cdot 1 = -\sin a$$

解法2

微分係数の定義より、

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(a+h) - \cos a}{h}$$

分子に加法定理 $\cos(a+h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h$ を用いる。

$$\begin{aligned} f'(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos a \cos h - \sin a \sin h - \cos a}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \cos a \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \right) \end{aligned}$$

ここで、第1項の $\frac{\cos h - 1}{h}$ の極限について考える。分子分母に $\cos h + 1$ を掛ける。

$$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} \right) \end{aligned}$$

問題の条件 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ を用いると、

$$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = -1 \cdot \frac{0}{1 + 1} = 0$$

となる。よって、元の式の極限を計算する。

$$f'(a) = \cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = -\sin a$$

解説

「定義に従って」と指定されているため、$(\cos x)' = -\sin x$ という公式を直接用いて答えを導くことは許されない。必ず極限の式を立てて計算過程を示す必要がある。三角関数の微分の導出において、和積の公式を用いる解法1が計算量を少なく抑えられ、記述も簡潔になりやすい。加法定理を用いる解法2も頻出であるが、その中で現れる $\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} = 0$ の導出過程は丁寧に記述しなければならない。