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数学3 微分の基本問題 18 解説

方針・初手

(1) は微分可能性の定義そのものである。極限が存在することを記述する。

(2) は積の微分法の公式の導出である。(1) の定義式を用いて、極限の式から無理やり $f(x)-f(a)$ と $g(x)-g(a)$ の形を作り出すのが定石である。また、微分可能であれば連続であるという性質も用いる。

(3) はライプニッツの公式と呼ばれる、積の高階導関数に関する公式の証明である。自然数 $n$ に関する命題であるため、数学的帰納法を用いて証明する。このとき、二項係数の性質 ${}_n\mathrm{C}_k + {}_n\mathrm{C}_{k-1} = {}_{n+1}\mathrm{C}_k$ を利用して式をまとめる。

解法1

(1)

極限値

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

が存在すること。

(2)

(1) の定義より、

$$h'(a) = \lim_{x \to a} \frac{h(x) - h(a)}{x - a}$$

ここで、分子の $h(x) - h(a)$ を変形する。

$$\begin{aligned} h(x) - h(a) &= f(x)g(x) - f(a)g(a) \\ &= f(x)g(x) - f(a)g(x) + f(a)g(x) - f(a)g(a) \\ &= \{f(x) - f(a)\}g(x) + f(a)\{g(x) - g(a)\} \end{aligned}$$

これを $h'(a)$ の極限の式に代入する。

$$\begin{aligned} h'(a) &= \lim_{x \to a} \frac{\{f(x) - f(a)\}g(x) + f(a)\{g(x) - g(a)\}}{x - a} \\ &= \lim_{x \to a} \left\{ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} g(x) + f(a) \frac{g(x) - g(a)}{x - a} \right\} \end{aligned}$$

関数 $f(x), g(x)$ は $x=a$ で微分可能であるから、

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$$

$$\lim_{x \to a} \frac{g(x) - g(a)}{x - a} = g'(a)$$

である。さらに、$g(x)$ は $x=a$ で微分可能であることから、$x=a$ で連続であり、

$$\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$$

が成り立つ。以上より、

$$h'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$$

となり、題意が示された。

(3)

定点 $a$ だけでなく、任意の $x$ に対して

$$h^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k f^{(n-k)}(x) g^{(k)}(x) \quad \cdots (*)$$

が成り立つことを、数学的帰納法により証明する。

(i) $n=1$ のとき

(2) と同様にして、任意の $x$ について $h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ が成り立つ。一方、$(*)$ の右辺に $n=1$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{1} {}_1\mathrm{C}_k f^{(1-k)}(x) g^{(k)}(x) &= {}_1\mathrm{C}_0 f^{(1)}(x)g^{(0)}(x) + {}_1\mathrm{C}_1 f^{(0)}(x)g^{(1)}(x) \\ &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \end{aligned}$$

となるから、$n=1$ のとき $(*)$ は成り立つ。

(ii) $n=m$ のとき

$(*)$ が成り立つと仮定する。すなわち、

$$h^{(m)}(x) = \sum_{k=0}^{m} {}_m\mathrm{C}_k f^{(m-k)}(x) g^{(k)}(x)$$

両辺を $x$ で微分すると、

$$\begin{aligned} h^{(m+1)}(x) &= \frac{d}{dx} \left\{ \sum_{k=0}^{m} {}_m\mathrm{C}_k f^{(m-k)}(x) g^{(k)}(x) \right\} \\ &= \sum_{k=0}^{m} {}_m\mathrm{C}_k \frac{d}{dx} \left\{ f^{(m-k)}(x) g^{(k)}(x) \right\} \\ &= \sum_{k=0}^{m} {}_m\mathrm{C}_k \left\{ f^{(m-k+1)}(x) g^{(k)}(x) + f^{(m-k)}(x) g^{(k+1)}(x) \right\} \\ &= \sum_{k=0}^{m} {}_m\mathrm{C}_k f^{(m+1-k)}(x) g^{(k)}(x) + \sum_{k=0}^{m} {}_m\mathrm{C}_k f^{(m-k)}(x) g^{(k+1)}(x) \end{aligned}$$

ここで、第2項の和について $k+1 = j$ とおくと、$k=0, 1, \cdots, m$ のとき $j=1, 2, \cdots, m+1$ となるから、

$$\sum_{k=0}^{m} {}_m\mathrm{C}_k f^{(m-k)}(x) g^{(k+1)}(x) = \sum_{j=1}^{m+1} {}_m\mathrm{C}_{j-1} f^{(m+1-j)}(x) g^{(j)}(x)$$

文字 $j$ を $k$ に戻すと、

$$\sum_{k=1}^{m+1} {}_m\mathrm{C}_{k-1} f^{(m+1-k)}(x) g^{(k)}(x)$$

と書ける。これを代入して式を整理する。

$$\begin{aligned} h^{(m+1)}(x) &= \left\{ {}_m\mathrm{C}_0 f^{(m+1)}(x) g^{(0)}(x) + \sum_{k=1}^{m} {}_m\mathrm{C}_k f^{(m+1-k)}(x) g^{(k)}(x) \right\} \\ &\quad + \left\{ \sum_{k=1}^{m} {}_m\mathrm{C}_{k-1} f^{(m+1-k)}(x) g^{(k)}(x) + {}_m\mathrm{C}_m f^{(0)}(x) g^{(m+1)}(x) \right\} \\ &= {}_m\mathrm{C}_0 f^{(m+1)}(x) g^{(0)}(x) + \sum_{k=1}^{m} \left( {}_m\mathrm{C}_k + {}_m\mathrm{C}_{k-1} \right) f^{(m+1-k)}(x) g^{(k)}(x) + {}_m\mathrm{C}_m f^{(0)}(x) g^{(m+1)}(x) \end{aligned}$$

ここで、二項係数の性質より ${}_m\mathrm{C}_k + {}_m\mathrm{C}_{k-1} = {}_{m+1}\mathrm{C}_k$ が成り立つ。また、${}_m\mathrm{C}_0 = 1 = {}_{m+1}\mathrm{C}_0$、${}_m\mathrm{C}_m = 1 = {}_{m+1}\mathrm{C}_{m+1}$ であるから、

$$\begin{aligned} h^{(m+1)}(x) &= {}_{m+1}\mathrm{C}_0 f^{(m+1)}(x) g^{(0)}(x) + \sum_{k=1}^{m} {}_{m+1}\mathrm{C}_k f^{(m+1-k)}(x) g^{(k)}(x) + {}_{m+1}\mathrm{C}_{m+1} f^{(0)}(x) g^{(m+1)}(x) \\ &= \sum_{k=0}^{m+1} {}_{m+1}\mathrm{C}_k f^{(m+1-k)}(x) g^{(k)}(x) \end{aligned}$$

よって、$n=m+1$ のときも $(*)$ は成り立つ。

(i)、(ii) より、すべての自然数 $n$ に対して $(*)$ は成り立つ。最後に $x=a$ を代入すれば、

$$h^{(n)}(a) = \sum_{k=0}^{n} {}_n\mathrm{C}_k f^{(n-k)}(a) g^{(k)}(a)$$

となり、題意が示された。

解説

本問は微分の基礎概念およびライプニッツの公式（積の高階微分公式）の導出を問う典型問題である。

(1) において微分可能の定義は、極限が存在することである。「極限値が $f'(a)$ になる」ことまでが定義に含まれると理解しておく。$h \to 0$ と $x \to a$ の2通りの表現があるが、(2) の証明でそのまま利用しやすい $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ を用いるのが自然である。

(2) では「微分可能ならば連続である」という性質を利用して $\lim_{x \to a} g(x) = g(a)$ を用いる点が重要である。これを書き漏らすと論証の不備となるため注意が必要である。

(3) の帰納法のステップでは、微分した結果生じる2つの和（$\sum$）の添字をずらして揃え、二項係数の関係式 ${}_n\mathrm{C}_k + {}_n\mathrm{C}_{k-1} = {}_{n+1}\mathrm{C}_k$ を用いてまとめる操作がカギとなる。これは二項定理の証明などでも頻出の式変形である。