数学3 微分の基本 問題 21 解説

方針・初手

関数の連続性と微分可能性の定義に従って計算を進める。

(1) では、関数 $f(x)$ が $x=\frac{\pi}{2}$ で連続であるための条件、すなわち $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} f(x) = f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ が成り立つように $a$ の値を定める。

(2) では、関数 $f(x)$ が $x=\frac{\pi}{2}$ で微分可能であるかを調べるために、微分係数の定義に基づく。右側からの極限（右側微分係数）と左側からの極限（左側微分係数）が一致しないことを示す。

解法1

(1)

関数 $f(x)$ は以下のように定義されている。

$$f(x) = \begin{cases} a \sin x + \cos x & \left( x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \\ x - \pi & \left( x > \frac{\pi}{2} \right) \end{cases}$$

$x \to \frac{\pi}{2}$ としたときの左側極限、右側極限、および関数値をそれぞれ求める。

左側極限と関数値は $x \leqq \frac{\pi}{2}$ の定義式を用いる。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} (a \sin x + \cos x) = a \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = a$$

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = a \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = a$$

右側極限は $x > \frac{\pi}{2}$ の定義式を用いる。

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} (x - \pi) = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$$

$f(x)$ が $x=\frac{\pi}{2}$ で連続であるためには、これらがすべて一致する必要がある。

よって、求める $a$ の値は以下のようになる。

$$a = -\frac{\pi}{2}$$

(2)

(1) より $a = -\frac{\pi}{2}$ である。このとき $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2}$ となる。

$x=\frac{\pi}{2}$ における右側微分係数と左側微分係数を調べる。

右側微分係数について、$x > \frac{\pi}{2}$ のとき $f(x) = x - \pi$ であるから、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} \frac{f(x) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x - \frac{\pi}{2}} &= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} \frac{(x - \pi) - \left(-\frac{\pi}{2}\right)}{x - \frac{\pi}{2}} \\ &= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} \frac{x - \frac{\pi}{2}}{x - \frac{\pi}{2}} \\ &= \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

左側微分係数について、$x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき $f(x) = -\frac{\pi}{2} \sin x + \cos x$ である。

ここで、$h = x - \frac{\pi}{2}$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2}-0$ のとき $h \to -0$ となる。

$x = \frac{\pi}{2} + h$ であり、

$$\begin{aligned} f(x) &= -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2} + h\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + h\right) \\ &= -\frac{\pi}{2} \cos h - \sin h \end{aligned}$$

となる。したがって、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{f(x) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x - \frac{\pi}{2}} &= \lim_{h \to -0} \frac{\left(-\frac{\pi}{2} \cos h - \sin h\right) - \left(-\frac{\pi}{2}\right)}{h} \\ &= \lim_{h \to -0} \left( -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\cos h - 1}{h} - \frac{\sin h}{h} \right) \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} \right) \\ &= -1 \cdot \frac{0}{1 + 1} = 0 \end{aligned}$$

であり、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ であるから、

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{f(x) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x - \frac{\pi}{2}} = -\frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1 = -1$$

以上より、

$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} \frac{f(x) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x - \frac{\pi}{2}} \neq \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{f(x) - f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x - \frac{\pi}{2}}$$

となり、右側微分係数と左側微分係数が一致しない。

よって、$f(x)$ は $x=\frac{\pi}{2}$ で微分可能でないことが示された。

解説

関数の連続性と微分可能性の定義を問う基本的な問題である。

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つことである。区間によって式が分かれている場合は、右側極限と左側極限がともに存在して $f(a)$ に一致することを確認する。

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは、極限値 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ が存在することである。これも連続のときと同様に、右側からの極限（右側微分係数）と左側からの極限（左側微分係数）が一致することを示す必要がある。

微分係数の定義式を利用する際、三角関数の極限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ に帰着させる変形は頻出の処理であるため、確実に実行できるようにしておきたい。

答え

(1)

$$a = -\frac{\pi}{2}$$

(2) 解法1の通り証明された。