数学3 微分の基本 問題 23 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ がすべての実数 $x$ で微分可能であるための条件を考える。 $x \neq \pm 1$ の各区間では $f(x)$ は多項式で表されているため、常に微分可能である。したがって、関数が切り替わる境界点 $x = -1$ および $x = 1$ において微分可能であればよい。

関数が $x = \alpha$ で微分可能であるためには、次の2つの条件を同時に満たす必要がある。

1. $x = \alpha$ で連続である（$\lim_{x \to \alpha-0} f(x) = \lim_{x \to \alpha+0} f(x) = f(\alpha)$）。
2. $x = \alpha$ で左右の微分係数が一致する（$\lim_{x \to \alpha-0} f'(x) = \lim_{x \to \alpha+0} f'(x)$）。

この条件を用いて、$a, b, c, d$ に関する連立方程式を立てる。

解法1

関数 $f(x)$ は次のように与えられている。

$$f(x) = \begin{cases} x - 1 & (x \leqq -1) \\ ax^2 + bx + c & (-1 < x < 1) \\ d - 2x & (1 \leqq x) \end{cases}$$

各区間における導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = \begin{cases} 1 & (x < -1) \\ 2ax + b & (-1 < x < 1) \\ -2 & (1 < x) \end{cases}$$

($x = -1$ における条件)

関数 $f(x)$ が $x = -1$ で微分可能であるためには、まず $x = -1$ で連続でなければならない。 左側極限と右側極限が一致するため、

$$\lim_{x \to -1-0} (x - 1) = \lim_{x \to -1+0} (ax^2 + bx + c)$$

$$-2 = a - b + c \quad \cdots \text{①}$$

次に、$x = -1$ で微分可能であるため、左右の微分係数が一致する。

$$\lim_{x \to -1-0} (1) = \lim_{x \to -1+0} (2ax + b)$$

$$1 = -2a + b \quad \cdots \text{②}$$

($x = 1$ における条件)

同様に、関数 $f(x)$ が $x = 1$ で微分可能であるためには、まず $x = 1$ で連続でなければならない。

$$\lim_{x \to 1-0} (ax^2 + bx + c) = \lim_{x \to 1+0} (d - 2x)$$

$$a + b + c = d - 2 \quad \cdots \text{③}$$

また、$x = 1$ で微分可能であるため、左右の微分係数が一致する。

$$\lim_{x \to 1-0} (2ax + b) = \lim_{x \to 1+0} (-2)$$

$$2a + b = -2 \quad \cdots \text{④}$$

(連立方程式の求解)

② と ④ の式から $a, b$ を求める。 ② $+$ ④ より、

$$2b = -1$$

$$b = -\frac{1}{2}$$

これを ④ に代入して、

$$2a - \frac{1}{2} = -2$$

$$2a = -\frac{3}{2}$$

$$a = -\frac{3}{4}$$

次に、求めた $a, b$ の値を ① に代入して $c$ を求める。

$$-2 = -\frac{3}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) + c$$

$$-2 = -\frac{1}{4} + c$$

$$c = -\frac{7}{4}$$

最後に、得られた $a, b, c$ の値を ③ に代入して $d$ を求める。

$$-\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{7}{4} = d - 2$$

$$-\frac{12}{4} = d - 2$$

$$-3 = d - 2$$

$$d = -1$$

よって、求める値は $a = -\frac{3}{4}, d = -1$ となる。

解説

「関数が微分可能である」という条件を数式に翻訳する典型的な問題である。「微分可能 $\implies$ 連続」という重要な性質を忘れずに適用し、連続性の条件式と微分係数が一致する条件式の2つを立てることが最大のポイントとなる。 区間ごとに多項式で定義された関数の場合、導関数を求めてから極限をとる方法（上記解答の解法）で問題なく処理できる。

答え

$$a = -\frac{3}{4}, \quad d = -1$$