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数学3 微分の基本問題 24 解説

方針・初手

(1) は $F(x)$ を $x$ で愚直に2回微分し、与えられた関係式 $f''(x) = -2f'(x) - 2f(x)$ を代入して整理する。
(2) の前半は、示したい式を $G(x) = \{F'(x)\}^2 + \{F(x)\}^2$ とおき、これを微分して $0$ になることを示す方針をとる。
(2) の後半は、前半の結果から $F(x)$ が有界である（ある定数の範囲内に収まる）ことを導き、$f(x) = e^{-x}F(x)$ に対してはさみうちの原理を適用する。

解法1

(1)

$F(x) = e^x f(x)$ の両辺を $x$ で微分すると、積の微分法より

$$F'(x) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x \{ f(x) + f'(x) \}$$

となる。さらに両辺を $x$ で微分すると

$$\begin{aligned} F''(x) &= e^x \{ f(x) + f'(x) \} + e^x \{ f'(x) + f''(x) \} \\ &= e^x \{ f(x) + 2f'(x) + f''(x) \} \end{aligned}$$

となる。ここで、問題の条件より $f''(x) = -2f'(x) - 2f(x)$ であるから、これを代入して

$$\begin{aligned} F''(x) &= e^x \{ f(x) + 2f'(x) - 2f'(x) - 2f(x) \} \\ &= e^x \{ -f(x) \} \\ &= -e^x f(x) \end{aligned}$$

$F(x) = e^x f(x)$ であるから、

$$F''(x) = -F(x)$$

が成り立つことが示された。

(2)

$G(x) = \{F'(x)\}^2 + \{F(x)\}^2$ とおく。$G(x)$ を $x$ で微分すると、合成関数の微分法より

$$\begin{aligned} G'(x) &= 2F'(x)F''(x) + 2F(x)F'(x) \\ &= 2F'(x) \{ F''(x) + F(x) \} \end{aligned}$$

となる。条件 $F''(x) = -F(x)$ より $F''(x) + F(x) = 0$ であるから、

$$G'(x) = 2F'(x) \cdot 0 = 0$$

となる。すべての実数 $x$ で微分係数が $0$ であるから、$G(x)$ は定数関数である。したがって、$\{F'(x)\}^2 + \{F(x)\}^2$ が定数になることが示された。

次に、この定数を $C$ とおく。実数の2乗の和であるから $C \geqq 0$ である。

$$\{F'(x)\}^2 + \{F(x)\}^2 = C$$

つねに $\{F'(x)\}^2 \geqq 0$ であるから、

$$\{F(x)\}^2 \leqq C$$

$$-\sqrt{C} \leqq F(x) \leqq \sqrt{C}$$

が成り立つ。ここで $F(x) = e^x f(x)$ より $f(x) = e^{-x}F(x)$ であるから、$e^{-x} > 0$ より各辺に $e^{-x}$ を掛けて

$$-\sqrt{C} e^{-x} \leqq e^{-x}F(x) \leqq \sqrt{C} e^{-x}$$

$$-\sqrt{C} e^{-x} \leqq f(x) \leqq \sqrt{C} e^{-x}$$

$x \to \infty$ のとき $e^{-x} \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to \infty} (-\sqrt{C} e^{-x}) = 0, \quad \lim_{x \to \infty} \sqrt{C} e^{-x} = 0$$

となる。したがって、はさみうちの原理により

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$$

解説

2階定数係数線形微分方程式の標準的な変換と、そこから得られる保存量（エネルギー積分）を背景とした問題である。

(1)の $F(x) = e^x f(x)$ という変換によって、1階微分の項を含まない $F''(x) = -F(x)$ という単振動の式に帰着される。

(2)の $\{F'(x)\}^2 + \{F(x)\}^2 = \text{定数}$ は、力学におけるエネルギー保存則に対応する関係式である。この関係式を利用することで、関数 $F(x)$ の値が定数の範囲に有界であることを示すのが本問の最大のポイントである。その後の極限計算では、「(有界な関数) $\times$ ($0$ に収束する関数) $\to 0$」という事実を、はさみうちの原理を用いて厳密に記述することが求められる。