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数学3 微分の基本問題 25 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるための条件は、極限値 $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在し、それが関数の値 $f(0)$ と一致することである。

すなわち、

$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$

が成り立つように定数 $A$ を定めればよい。$f(0) = A$ であるから、目標は極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$ を計算することに帰着される。

この極限はそのままでは $\frac{0}{0}$ の不定形となるため、三角関数の公式を用いて公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ が利用できる形へと式変形を行う。

解法1

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続となる条件は、

$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$

すなわち、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = A$$

が成り立つことである。

左辺の極限を計算する。分母と分子に $\cos x + 1$ を掛けると、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - 1)(\cos x + 1)}{x^2(\cos x + 1)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x - 1}{x^2(\cos x + 1)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-\sin^2 x}{x^2(\cos x + 1)} \\ &= \lim_{x \to 0} \left\{ -\left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{\cos x + 1} \right\} \end{aligned}$$

ここで、$x \to 0$ のとき $\frac{\sin x}{x} \to 1$ であり、$\cos x \to 1$ であるから、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left\{ -\left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{\cos x + 1} \right\} &= -1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}$$

したがって、求める定数 $A$ の値は $A = -\frac{1}{2}$ である。

解法2

半角の公式（$\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$）を用いて分子を変形する。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} -2 \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2 \\ &= \lim_{x \to 0} -2 \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \cdot \frac{x}{2}} \right)^2 \\ &= \lim_{x \to 0} -\frac{2}{4} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 \end{aligned}$$

ここで、$x \to 0$ のとき $\frac{x}{2} \to 0$ であるから、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} = 1$ となる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} -\frac{1}{2} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2 &= -\frac{1}{2} \cdot 1^2 \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}$$

関数が $x=0$ で連続になるためには、この極限値が $f(0) = A$ と等しくなる必要があるため、$A = -\frac{1}{2}$ である。