数学3 微分の基本 問題 26 解説

方針・初手

積の微分法と合成関数の微分法を用いて計算する。式が積と累乗で構成されているため、対数微分法を用いる方針も有効である。

解法1

与えられた関数を微分する。積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分法を用いる。

$$y' = (x^3)' \sqrt{1+x^2} + x^3 \left( \sqrt{1+x^2} \right)'$$

それぞれの導関数を計算する。

$$y' = 3x^2 \sqrt{1+x^2} + x^3 \cdot \frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (1+x^2)'$$

$$y' = 3x^2 \sqrt{1+x^2} + x^3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x$$

項を整理する。

$$y' = 3x^2 \sqrt{1+x^2} + \frac{x^4}{\sqrt{1+x^2}}$$

分母を $\sqrt{1+x^2}$ に揃えて通分する。

$$y' = \frac{3x^2(1+x^2) + x^4}{\sqrt{1+x^2}}$$

分子を展開して整理する。

$$y' = \frac{3x^2 + 3x^4 + x^4}{\sqrt{1+x^2}}$$

$$y' = \frac{4x^4 + 3x^2}{\sqrt{1+x^2}}$$

分子を共通因数 $x^2$ でくくる。

$$y' = \frac{x^2(4x^2+3)}{\sqrt{1+x^2}}$$

解法2

対数微分法を用いる。$x > 0$ より $x^3 > 0$ であり、$\sqrt{1+x^2} > 0$ であるから、$y > 0$ である。両辺の自然対数をとる。

$$\log y = \log \left( x^3 \sqrt{1+x^2} \right)$$

対数の性質を用いて右辺を展開する。

$$\log y = 3 \log x + \frac{1}{2} \log (1+x^2)$$

両辺を $x$ で微分する。

$$\frac{y'}{y} = 3 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+x^2)'}{1+x^2}$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{3}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{1+x^2}$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{3}{x} + \frac{x}{1+x^2}$$

右辺を通分して整理する。

$$\frac{y'}{y} = \frac{3(1+x^2) + x \cdot x}{x(1+x^2)}$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{3 + 3x^2 + x^2}{x(1+x^2)}$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{4x^2 + 3}{x(1+x^2)}$$

両辺に $y = x^3 \sqrt{1+x^2}$ を掛ける。

$$y' = x^3 \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{4x^2 + 3}{x(1+x^2)}$$

約分して整理する。

$$y' = x^2 \cdot \frac{4x^2 + 3}{\sqrt{1+x^2}}$$

$$y' = \frac{x^2(4x^2+3)}{\sqrt{1+x^2}}$$

解説

積の微分法と合成関数の微分法を正しく組み合わせて計算できるかを問う基本的な計算問題である。導関数を求めた後は、共通分母で通分して式を簡潔な形に整理することが望ましい。

式が複数の因数の積や累乗根を含む場合、解法2のように対数微分法を用いると計算の見通しが良くなることが多い。本問ではどちらの解法を用いても計算量に大きな差はないため、自分にとって計算ミスをしにくい方を選択すればよい。

答え

$$y' = \frac{x^2(4x^2+3)}{\sqrt{1+x^2}}$$