数学3 微分の基本 問題 27 解説

方針・初手

分数関数であるため、商の微分公式を用いて導関数を計算する。 そのまま商の微分公式を適用する方法と、事前に分母分子に $e^x$ を掛けて式を簡略化してから微分する方法の2通りが考えられる。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$y = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いて微分する。 分子と分母の導関数はそれぞれ以下のようになる。

$$(e^x - e^{-x})' = e^x - (-e^{-x}) = e^x + e^{-x}$$

$$(e^x + e^{-x})' = e^x + (-e^{-x}) = e^x - e^{-x}$$

これらを商の微分公式に当てはめる。

$$\begin{aligned} y' &= \frac{(e^x - e^{-x})'(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x + e^{-x})'}{(e^x + e^{-x})^2} \\ &= \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2} \\ &= \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} \end{aligned}$$

分子を展開して整理する。

$$\begin{aligned} (e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2 &= (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x}) \\ &= 4 \end{aligned}$$

したがって、求める導関数は以下のようになる。

$$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$$

解法2

与式の分母と分子に $e^x$ を掛け、負の指数を消去してから微分する。

$$y = \frac{e^x(e^x - e^{-x})}{e^x(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$

この式に対して商の微分公式を適用する。

$$\begin{aligned} y' &= \frac{(e^{2x} - 1)'(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1)(e^{2x} + 1)'}{(e^{2x} + 1)^2} \\ &= \frac{2e^{2x}(e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} \\ &= \frac{2e^{2x} \{ (e^{2x} + 1) - (e^{2x} - 1) \}}{(e^{2x} + 1)^2} \\ &= \frac{2e^{2x} \cdot 2}{(e^{2x} + 1)^2} \\ &= \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} \end{aligned}$$

なお、この結果は解法1の結果の分母分子に $e^{2x}$ を掛けたものと一致しており、数学的に同値である。

解説

指数関数を含む分数関数の基本的な微分計算問題である。 商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ と、合成関数の微分 $(e^{-x})' = -e^{-x}$ を正確に行えるかを問うている。

解法1のようにそのまま計算すると、分子が $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ の形になり、計算が美しくまとまる。一方、解法2のように負の指数を先に処理しておくと、微分の際の符号ミスを減らすことができる。どちらの手法も身につけておきたい。

ちなみに、この関数は双曲線正接関数 $\tanh x$ と呼ばれるものであり、今回の計算は $(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x}$ の導出そのものである。

答え

$$y' = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$$

（または $y' = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$）