数学3 微分の基本 問題 28 解説

方針・初手

指数関数の底が $e$ 以外の定数である合成関数の微分です。 一般に $y = a^{f(x)}$ の微分は、公式 $(a^x)' = a^x \log a$ と合成関数の微分法を用いて計算します。また、両辺の自然対数をとってから微分する「対数微分法」を用いることも有効です。

解法1

公式 $(a^x)' = a^x \log a$ と合成関数の微分法を用いる。

$$y = 2^{\sin x}$$

両辺を $x$ で微分すると、

$$\begin{aligned} y' &= 2^{\sin x} \cdot \log 2 \cdot (\sin x)' \\ &= 2^{\sin x} \cdot \log 2 \cdot \cos x \\ &= 2^{\sin x} \cos x \log 2 \end{aligned}$$

解法2

対数微分法を用いる。 $y = 2^{\sin x}$ について、任意の $x$ で $2^{\sin x} > 0$ より $y > 0$ であるから、両辺の自然対数をとると

$$\log y = \log 2^{\sin x}$$

対数の性質を用いて右辺を変形すると

$$\log y = \sin x \cdot \log 2$$

両辺を $x$ で微分すると

$$\frac{y'}{y} = \cos x \cdot \log 2$$

両辺に $y$ を掛けて

$$\begin{aligned} y' &= y \cos x \log 2 \\ &= 2^{\sin x} \cos x \log 2 \end{aligned}$$

解説

指数関数の微分の基本公式 $(e^x)' = e^x$ はよく使われますが、底が一般の正の定数 $a$ ($a \neq 1$) の場合は $(a^x)' = a^x \log a$ となります。ここに $\log a$ が掛かることを忘れないように注意が必要です。

また、本問のように指数部分にさらに別の関数が含まれている場合は、合成関数の微分法により指数の微分を掛け合わせます。 公式を忘れてしまった場合や、底が定数か変数か迷うような複雑な関数の場合は、解法2のように対数微分法を用いることで確実な導出が可能です。

答え

$$y' = 2^{\sin x} \cos x \log 2$$