数学3 微分の基本 問題 29 解説

方針・初手

合成関数の微分法を用いて計算する。対数関数の微分公式 $(\log x)' = \frac{1}{x}$ を外側の関数と内側の関数それぞれに適用する。

解法1

与えられた関数 $y = \log(\log x)$ に対して、合成関数の微分法を用いる。

$$\begin{aligned} y' &= \frac{d}{dx} \{ \log(\log x) \} \\ &= \frac{1}{\log x} \cdot (\log x)' \\ &= \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{1}{x \log x} \end{aligned}$$

解説

合成関数の微分の基本的な計算問題である。外側の関数 $\log u$（$u = \log x$）を微分して $\frac{1}{u}$ とし、そこに内側の関数の微分 $u' = \frac{1}{x}$ を掛けるという手順を確実に行う。

高校数学の微分積分において、特に底の指定がない対数関数 $\log x$ は自然対数（底が $e$）として扱う。また、真数条件より $x > 0$ かつ $\log x > 0$、すなわち定義域は $x > 1$ となるが、単に導関数を求める本問においてはその記述を省略しても問題ない。

答え

$$y' = \frac{1}{x \log x}$$