数学3 微分の基本 問題 30 解説

方針・初手

関数の積の微分法 $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を用いて、順に第1次導関数、第2次導関数を計算する。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$y = (\sin x + \cos x)e^x$$

両辺を $x$ で微分し、積の微分法を用いると、第1次導関数 $y'$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} y' &= (\sin x + \cos x)' e^x + (\sin x + \cos x)(e^x)' \\ &= (\cos x - \sin x)e^x + (\sin x + \cos x)e^x \\ &= 2e^x \cos x \end{aligned}$$

さらに両辺を $x$ で微分し、第2次導関数 $y''$ を求める。

$$\begin{aligned} y'' &= (2e^x)' \cos x + 2e^x (\cos x)' \\ &= 2e^x \cos x + 2e^x (-\sin x) \\ &= 2e^x(\cos x - \sin x) \end{aligned}$$

解説

指数関数と三角関数の積の微分に関する基本的な計算問題である。導関数を求めた後に $e^x$ でくくり直して式を整理することで、次の微分の計算見通しが良くなる。三角関数の微分の際の符号の変化（特に $\cos x$ の微分が $-\sin x$ になること）に注意が必要である。

答え

$$y'' = 2e^x(\cos x - \sin x)$$