数学3 微分の基本 問題 31 解説

方針・初手

与えられた関数 $y = e^{-x} \sin x$ を $x$ について微分し、$y'$ と $y''$ を求める。求めた導関数を与えられた等式 $y'' + [ア]y' + [イ]y = 0$ に代入し、$x$ についての恒等式として係数を比較する方針が最も確実である。また、微分の過程で $y$ や $y'$ の形を作り出すことで、直接的に関係式を導出することもできる。

解法1

与式 $y = e^{-x} \sin x$ を $x$ について微分すると、積の微分公式より以下のようになる。

$$y' = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$$

さらに $x$ について微分して $y''$ を求める。

$$\begin{aligned} y'' &= -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) \\ &= e^{-x}(-\cos x + \sin x - \sin x - \cos x) \\ &= -2e^{-x} \cos x \end{aligned}$$

これらを、与えられた等式 $y'' + [ア]y' + [イ]y = 0$ に代入する。

$$-2e^{-x} \cos x + [ア] e^{-x}(\cos x - \sin x) + [イ] e^{-x} \sin x = 0$$

両辺を $e^{-x} \neq 0$ で割り、$\sin x$ と $\cos x$ について整理する。

$$(-2 + [ア])\cos x + (-[ア] + [イ])\sin x = 0$$

この等式が任意の $x$ について成り立つ（恒等式である）ための条件は、各係数が $0$ となることである。

$$\begin{cases} -2 + [ア] = 0 \\ -[ア] + [イ] = 0 \end{cases}$$

これを解いて、$[ア] = 2$、$[イ] = 2$ を得る。

解法2

$y = e^{-x} \sin x$ を微分する。

$$y' = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x$$

ここで、第1項は $-y$ に等しいため、次のように書き換えられる。

$$y' = -y + e^{-x} \cos x$$

これをさらに $x$ について微分する。

$$y'' = -y' - e^{-x} \cos x - e^{-x} \sin x$$

右辺の第3項は $-y$ である。また、先ほどの $y'$ の式から $e^{-x} \cos x = y' + y$ であるから、これを第2項に代入する。

$$\begin{aligned} y'' &= -y' - (y' + y) - y \\ &= -2y' - 2y \end{aligned}$$

項を左辺に移項して整理する。

$$y'' + 2y' + 2y = 0$$

これを与えられた等式 $y'' + [ア]y' + [イ]y = 0$ と比較することで、$[ア] = 2$、$[イ] = 2$ を得る。

解説

2階定数係数線形微分方程式の解に関する基本的な問題である。解法1のように直接代入して恒等式に持ち込むのが素直な手法だが、解法2のように高次導関数を計算する過程で低次導関数や元の関数を用いて式を簡略化していく手法は、計算ミスを減らす上で非常に有効である。特に $e^{ax} \sin bx$ や $e^{ax} \cos bx$ の形の関数の微分では、この「自分自身に戻る」性質をうまく利用したい。

答え

$[ア] = 2$

$[イ] = 2$