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数学3 微分の基本問題 32 解説

方針・初手

関数 $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ の導関数 $f'(x)$ を、3つの異なるアプローチ（逆関数の微分法、積の微分法、微分の定義）で求める問題である。それぞれの設問で指定された公式や定義に忠実に従って計算を進める。

解法1

(1)

$y = f(x) = x^{\frac{1}{3}}$ とおく。$x > 0$ であるから $y > 0$ である。両辺を3乗すると $x = y^3$ となるため、関数 $g(y) = y^3$ に対して $x = g(y)$ と表せる。逆関数の微分法の公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ より、

$$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g'(y)}$$

ここで、$g'(y) = \frac{d}{dy}(y^3) = 3y^2$ であるから、

$$f'(x) = \frac{1}{3y^2} = \frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$$

(2)

与えられた等式 $f(x) \cdot f(x) \cdot f(x) = x$ の両辺を $x$ で微分する。左辺について、積の微分法を適用する。

$$\begin{aligned} (f(x) \cdot f(x) \cdot f(x))' &= f'(x) \cdot f(x) \cdot f(x) + f(x) \cdot f'(x) \cdot f(x) + f(x) \cdot f(x) \cdot f'(x) \\ &= 3 \{f(x)\}^2 f'(x) \end{aligned}$$

右辺を $x$ で微分すると $1$ になる。したがって、次の方程式を得る。

$$3 \{f(x)\}^2 f'(x) = 1$$

$x > 0$ のとき $f(x) > 0$ であり $\{f(x)\}^2 \neq 0$ であるから、両辺を $3\{f(x)\}^2$ で割って整理する。

$$f'(x) = \frac{1}{3 \{f(x)\}^2} = \frac{1}{3(x^{\frac{1}{3}})^2} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$$

(3)

導関数の定義式に従って計算する。

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{h}$$

分子を有理化するために、展開公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用する。 $a = (x+h)^{\frac{1}{3}}$、$b = x^{\frac{1}{3}}$ とみなして、分母と分子に $(x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}$ を掛ける。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\{(x+h)^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}\}\{(x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\}}{h\{(x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\}} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h\{(x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\}} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h\{(x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\}} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{(x+h)^{\frac{2}{3}} + (x+h)^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}} \end{aligned}$$

$h \to 0$ の極限をとると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} \\ &= \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \end{aligned}$$

解説

累乗の微分公式 $(x^n)' = n x^{n-1}$ が有理数乗の場合にも成り立つことを、3つの異なる手法で導出・確認する問題である。 (1) は逆関数の微分法を用いる基本的な導出である。公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ の使い方を確認できる。 (2) は積の微分法（事実上の合成関数の微分）を用いて、関係式から導関数を逆算する手法である。 (3) は微分の定義に基づく極限計算である。3乗根を含む極限計算では、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ を用いた分子の有理化が典型的なアプローチとなる。