数学3 微分の基本 問題 33 解説

方針・初手

合成関数の微分法を用いて導関数 $f'(x)$ を計算する。 以降の設問は、関数の近似式に関する理解を問うものである。(1) と (2) の結果が (3) の誘導となっており、微分の定義から係数を決定できる。さらに (4) は、(3) で得られた導関数の近似式を積分することで、元の関数の近似式を導出するという流れに乗る。

解法1

(1)

$f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 2} = (x^2 - 2x + 2)^{\frac{1}{2}}$ を微分する。

$$f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x^2 - 2x + 2)'$$

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \cdot (2x - 2) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}}$$

したがって、$x = 1$ を代入すると、

$$f'(1) = \frac{1 - 1}{\sqrt{1^2 - 2 \cdot 1 + 2}} = 0$$

(2)

(1) で求めた $f'(x)$ を与式に代入して極限を計算する。

$$\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} \right)$$

$x \to 1$ の極限を考えるため $x \neq 1$ としてよく、$x - 1$ で約分できる。

$$\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{1^2 - 2 \cdot 1 + 2}} = 1$$

(3)

$x$ が $1$ に十分近いとき、関数 $g(x)$ の $1$ 次近似式は $g(x) \fallingdotseq g(1) + g'(1)(x - 1)$ と表される。

ここで $g(x) = f'(x)$ と考えると、(1) より $f'(1) = 0$ である。 また、(2) の極限の式は、微分の定義より $f''(1)$ を表している。すなわち、

$$f''(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x) - f'(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x) - 0}{x - 1} = 1$$

である。よって、$f'(x)$ の $1$ 次近似式は、

$$f'(x) \fallingdotseq f'(1) + f''(1)(x - 1) = 0 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1$$

これを与えられた近似式 $f'(x) \fallingdotseq a + b(x - 1)$ と比較して、

$$a = 0, \quad b = 1$$

(4)

(3) の結果より、$x$ が $1$ に十分近いとき、$f'(x) \fallingdotseq x - 1$ である。 この近似式の両辺を区間 $[1, x]$ で定積分する。

$$\int_{1}^{x} f'(t) dt \fallingdotseq \int_{1}^{x} (t - 1) dt$$

左辺を計算すると、

$$\int_{1}^{x} f'(t) dt = \left[ f(t) \right]_{1}^{x} = f(x) - f(1)$$

右辺を計算すると、

$$\int_{1}^{x} (t - 1) dt = \left[ \frac{1}{2}(t - 1)^2 \right]_{1}^{x} = \frac{1}{2}(x - 1)^2$$

よって、

$$f(x) - f(1) \fallingdotseq \frac{1}{2}(x - 1)^2$$

ここで、$f(1) = \sqrt{1^2 - 2 \cdot 1 + 2} = \sqrt{1} = 1$ であるから、

$$f(x) \fallingdotseq 1 + \frac{1}{2}(x - 1)^2$$

これを与えられた近似式 $f(x) \fallingdotseq A + B(x - 1) + C(x - 1)^2$ と比較して、

$$A = 1, \quad B = 0, \quad C = \frac{1}{2}$$

解説

本問は、微分法および関数の近似に関する基本的な理解を問う問題である。 (3) は $f'(x)$ の $x=1$ 周りの $1$ 次近似であり、係数 $a$ は $f'(1)$、係数 $b$ は $f''(1)$ にそれぞれ対応している。(1) と (2) の結果がそのまま使えることに気づくことがポイントである。 (4) は「(3) の結果を用いて」と指定されているため、得られた導関数 $f'(x)$ の近似式を積分して元の関数 $f(x)$ の近似式を導出する方針が最も自然であり、出題意図にも沿っている。大学数学で学ぶテイラー展開（マクローリン展開の平行移動）の概念を高校数学の範囲で誘導付きで導かせている良問である。

答え

(1) $0$

(2) $1$

(3) $a = 0, \quad b = 1$

(4) $A = 1, \quad B = 0, \quad C = \frac{1}{2}$