数学3 微分の基本 問題 34 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ と $g(x)$ について、それぞれ第2次導関数まで計算し、$x=0$ を代入した値を求める。 与えられた条件式 $f(0) = g(0)$, $f'(0) = g'(0)$, $f''(0) = g''(0)$ を連立方程式として解き、未定定数 $a$, $b$, $c$ を決定する。

解法1

$f(x) = \cos x + 1$ より、導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = -\sin x$$

$$f''(x) = -\cos x$$

これらに $x=0$ を代入すると、

$$f(0) = \cos 0 + 1 = 2$$

$$f'(0) = -\sin 0 = 0$$

$$f''(0) = -\cos 0 = -1$$

となる。

次に、$g(x)$ について考える。

$$g(x) = \frac{a}{bx^2 + cx + 1}$$

これに $x=0$ を代入すると、

$$g(0) = \frac{a}{1} = a$$

条件 $f(0) = g(0)$ より、

$$a = 2$$

となる。これを $g(x)$ に代入すると、

$$g(x) = \frac{2}{bx^2 + cx + 1}$$

となる。この関数を微分すると、商の微分法より、

$$g'(x) = \frac{-2(2bx + c)}{(bx^2 + cx + 1)^2}$$

これに $x=0$ を代入すると、

$$g'(0) = \frac{-2c}{1^2} = -2c$$

条件 $f'(0) = g'(0)$ より、

$$0 = -2c$$

したがって、

$$c = 0$$

となる。求めた $c=0$ を $g'(x)$ に代入すると、

$$g'(x) = \frac{-4bx}{(bx^2 + 1)^2}$$

となる。これをさらに微分して $g''(x)$ を求める。商の微分法と合成関数の微分法を用いて、

$$\begin{aligned} g''(x) &= \frac{-4b(bx^2 + 1)^2 - (-4bx) \cdot 2(bx^2 + 1) \cdot 2bx}{(bx^2 + 1)^4} \\ &= \frac{-4b(bx^2 + 1) + 16b^2x^2}{(bx^2 + 1)^3} \end{aligned}$$

これに $x=0$ を代入すると、

$$g''(0) = \frac{-4b \cdot 1 + 0}{1^3} = -4b$$

条件 $f''(0) = g''(0)$ より、

$$-1 = -4b$$

したがって、

$$b = \frac{1}{4}$$

となる。

解説

関数の微分と値の代入を丁寧に行う基本的な問題である。 3つの条件式が与えられているが、一度にすべて微分してから代入するよりも、1つの条件を使うごとに求まった定数（今回は $a$ と $c$）を元の式に代入して計算を進めることで、その後の微分計算の手間を大幅に減らすことができる。 特に分数の微分は分子が複雑になりやすいため、定数を早めに確定させることが計算ミスを防ぐポイントである。

答え

$$a = 2, \quad b = \frac{1}{4}, \quad c = 0$$