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数学3 微分の基本問題 38 解説

方針・初手

底と指数の両方に変数 $x$ を含む関数 $f(x) = \{g(x)\}^{h(x)}$ の微分である。
このような関数の微分には、両辺の自然対数をとってから微分する「対数微分法」を用いるか、自然対数の底 $e$ を用いて $f(x) = e^{h(x)\log g(x)}$ と変形してから合成関数の微分法を用いるのが定石である。
計算を簡明にするため、まずは与えられた関数 $f(x) = (\sqrt[3]{x})^{x^2}$ を $x^{\frac{x^2}{3}}$ と指数法則を用いて整理してから微分を行う。

与えられた関数は、指数法則より次のように変形できる。

$$f(x) = (\sqrt[3]{x})^{x^2} = (x^{\frac{1}{3}})^{x^2} = x^{\frac{x^2}{3}}$$

$x > 0$ であるから $f(x) > 0$ であり、両辺の自然対数をとることができる。

$$\log f(x) = \log x^{\frac{x^2}{3}}$$

対数の性質を用いて右辺を整理する。

$$\log f(x) = \frac{x^2}{3} \log x$$

この両辺を $x$ について微分する。左辺は合成関数の微分法、右辺は積の微分法を用いる。

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \left( \frac{x^2}{3} \right)' \log x + \frac{x^2}{3} (\log x)'$$

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2x}{3} \log x + \frac{x^2}{3} \cdot \frac{1}{x}$$

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2x}{3} \log x + \frac{x}{3}$$

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x}{3} (2 \log x + 1)$$

両辺に $f(x) = x^{\frac{x^2}{3}}$ を掛けて $f'(x)$ を求める。

$$f'(x) = x^{\frac{x^2}{3}} \cdot \frac{x}{3} (2 \log x + 1)$$

問題文の $f'(x) = x^{\frac{x^2}{3}} \cdot [④]$ と比較すると、$[④]$ に当てはまる式が求まる。

$A = e^{\log A}$ ($A > 0$) の関係を用いて、底を $e$ に変換してから微分する。

$$f(x) = x^{\frac{x^2}{3}} = e^{\log x^{\frac{x^2}{3}}} = e^{\frac{x^2}{3} \log x}$$

これを $x$ について微分する。合成関数の微分法を用いる。

$$f'(x) = \left( e^{\frac{x^2}{3} \log x} \right)'$$

$$f'(x) = e^{\frac{x^2}{3} \log x} \cdot \left( \frac{x^2}{3} \log x \right)'$$

$e^{\frac{x^2}{3} \log x} = x^{\frac{x^2}{3}}$ に戻し、右側の括弧内は積の微分法で計算する。

$$f'(x) = x^{\frac{x^2}{3}} \cdot \left( \frac{2x}{3} \log x + \frac{x^2}{3} \cdot \frac{1}{x} \right)$$

$$f'(x) = x^{\frac{x^2}{3}} \cdot \left( \frac{2x}{3} \log x + \frac{x}{3} \right)$$

$$f'(x) = x^{\frac{x^2}{3}} \cdot \frac{x}{3} (2 \log x + 1)$$

よって、$[④]$ に当てはまる式が求まる。

$(変数)^{(変数)}$ の形をした関数の微分は、数学IIIの微分法における典型的な問題である。
対数微分法は、積や商が多く含まれる複雑な関数の微分や、今回のような累乗の形で底と指数の両方に変数が含まれる関数の微分に非常に有効である。
最初に $(\sqrt[3]{x})^{x^2}$ のまま対数をとって $\log f(x) = x^2 \log \sqrt[3]{x} = x^2 \cdot \frac{1}{3} \log x$ としてもよいが、事前に $x^{\frac{x^2}{3}}$ とまとめておくことで見通しが良くなり、微分の計算ミスを減らすことができる。