数学3 微分の基本 問題 39 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x) = e^{x^2}$ を、合成関数の微分法および積の微分法を用いて順次微分していく。計算ミスを防ぐため、各階導関数を $(多項式) \times e^{x^2}$ の形に整理しながら計算を進める。

解法1

与式は $f(x) = e^{x^2}$ である。

合成関数の微分法より、第1次導関数 $f'(x)$ は次のように計算できる。

$$f'(x) = e^{x^2} \cdot (x^2)' = 2x e^{x^2}$$

続いて、積の微分法を用いて第2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f''(x) &= (2x)' e^{x^2} + 2x (e^{x^2})' \\ &= 2 e^{x^2} + 2x \cdot 2x e^{x^2} \\ &= (4x^2 + 2) e^{x^2} \end{aligned}$$

これにより、$[\text{ケ}]$ に当てはまる式が求まった。

さらに微分を続け、第3次導関数 $f'''(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f'''(x) &= (4x^2 + 2)' e^{x^2} + (4x^2 + 2) (e^{x^2})' \\ &= 8x e^{x^2} + (4x^2 + 2) \cdot 2x e^{x^2} \\ &= (8x^3 + 12x) e^{x^2} \end{aligned}$$

最後に、第4次導関数 $f^{(4)}(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f^{(4)}(x) &= (8x^3 + 12x)' e^{x^2} + (8x^3 + 12x) (e^{x^2})' \\ &= (24x^2 + 12) e^{x^2} + (8x^3 + 12x) \cdot 2x e^{x^2} \\ &= (16x^4 + 48x^2 + 12) e^{x^2} \end{aligned}$$

これにより、$[\text{コ}]$ に当てはまる式が求まった。

解説

指数関数の合成関数 $e^{g(x)}$ の微分は $(e^{g(x)})' = g'(x) e^{g(x)}$ となる。高階導関数を求める際は、毎回 $e^{x^2}$ が因数として現れるため、これを括り出しながら整理していくと計算の見通しが良くなる。

本問のような計算問題では、途中の符号ミスや係数の計算ミスが命取りになるため、丁寧に展開と整理を行うことが重要である。

答え

$[\text{ケ}]$ $4x^2 + 2$

$[\text{コ}]$ $16x^4 + 48x^2 + 12$