数学3 微分の基本 問題 41 解説

方針・初手

$x \to \frac{1}{4}$ のとき、分母の $4x - 1$ は $0$ に近づき、分子の $\tan \pi x - 1$ は $\tan \frac{\pi}{4} - 1 = 0$ に近づくため、$\frac{0}{0}$ の不定形となる。

このような三角関数を含む不定形の極限では、おもに2つのアプローチが考えられる。 1つ目は、$x - \frac{1}{4} = t$ と変数変換を行い、三角関数の極限の基本公式 $\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$ に帰着させる方法である。 2つ目は、与式の形から微分係数の定義 $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$ を見出し、微分の計算に持ち込む方法である。

解法1

$x - \frac{1}{4} = t$ とおく。

$x \to \frac{1}{4}$ のとき $t \to 0$ である。 また、$x = t + \frac{1}{4}$ であり、分母は以下のように表される。

$$4x - 1 = 4 \left( t + \frac{1}{4} \right) - 1 = 4t$$

分子について、加法定理を用いて変形する。

$$\tan \pi x - 1 = \tan \pi \left( t + \frac{1}{4} \right) - 1 = \tan \left( \pi t + \frac{\pi}{4} \right) - 1$$

$$= \frac{\tan \pi t + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \pi t \tan \frac{\pi}{4}} - 1$$

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ であるから、

$$= \frac{\tan \pi t + 1}{1 - \tan \pi t} - 1 = \frac{(\tan \pi t + 1) - (1 - \tan \pi t)}{1 - \tan \pi t} = \frac{2 \tan \pi t}{1 - \tan \pi t}$$

したがって、求める極限は次のように計算できる。

$$\lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{\tan \pi x - 1}{4x - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{4t} \cdot \frac{2 \tan \pi t}{1 - \tan \pi t}$$

$$= \lim_{t \to 0} \frac{2}{4(1 - \tan \pi t)} \cdot \frac{\tan \pi t}{t}$$

ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\tan \pi t}{\pi t} = 1$ を利用できるように式を変形する。

$$= \lim_{t \to 0} \frac{2\pi}{4(1 - \tan \pi t)} \cdot \frac{\tan \pi t}{\pi t}$$

$t \to 0$ のとき $\tan \pi t \to 0$ であるから、

$$= \frac{2\pi}{4(1 - 0)} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$$

解法2

$f(x) = \tan \pi x$ とおく。

$x = \frac{1}{4}$ のとき、$f\left(\frac{1}{4}\right) = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ である。 これを用いて与式を変形すると、微分係数の定義に帰着できる。

$$\lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{\tan \pi x - 1}{4x - 1} = \lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{1}{4} \cdot \frac{\tan \pi x - 1}{x - \frac{1}{4}}$$

$$= \frac{1}{4} \lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{f(x) - f\left(\frac{1}{4}\right)}{x - \frac{1}{4}} = \frac{1}{4} f'\left(\frac{1}{4}\right)$$

ここで、$f(x) = \tan \pi x$ を $x$ について微分する。合成関数の微分法により、

$$f'(x) = \frac{\pi}{\cos^2 \pi x}$$

となる。したがって、$x = \frac{1}{4}$ における微分係数は、

$$f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{\cos^2 \frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi$$

よって、求める極限は、

$$\frac{1}{4} f'\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}$$

解説

$\frac{0}{0}$ の不定形の極限計算における典型問題である。

解法1のように、変数が $0$ に近づくように置き換えを行い、三角関数の極限の基本公式に持ち込むのがオーソドックスな手法である。計算過程でタンジェントの加法定理を用いるため、正確な公式の適用が求められる。

一方、解法2のように式の形から微分係数の定義式を読み取る視点を持つと、加法定理などの複雑な変形を避け、計算量を大幅に削減できる。入試においては、見通しよく計算ミスを防ぐために、解法2のアプローチに素早く気づけるようにしておきたい。

答え

$$\frac{\pi}{2}$$