数学3 微分の基本 問題 42 解説

方針・初手

関数の積の微分法と合成関数の微分法を用いて、導関数 $f'(x)$ を計算する。計算後、$f'(x)=0$ の方程式を解くが、指数関数を含む部分は常に正であるため、多項式部分が $0$ になる条件を求める。

解法1

与えられた関数は $f(x) = x e^{-(x-2)^2}$ である。

積の微分法により、導関数 $f'(x)$ は次のように計算できる。

$$f'(x) = (x)' e^{-(x-2)^2} + x \left( e^{-(x-2)^2} \right)'$$

ここで、合成関数の微分法を用いると、$\left( e^{-(x-2)^2} \right)' = e^{-(x-2)^2} \cdot \left\{ -(x-2)^2 \right\}' = -2(x-2) e^{-(x-2)^2}$ となるため、

$$\begin{aligned} f'(x) &= 1 \cdot e^{-(x-2)^2} + x \left\{ -2(x-2) e^{-(x-2)^2} \right\} \\ &= e^{-(x-2)^2} - 2x(x-2) e^{-(x-2)^2} \\ &= \left\{ 1 - 2x(x-2) \right\} e^{-(x-2)^2} \\ &= (-2x^2 + 4x + 1) e^{-(x-2)^2} \end{aligned}$$

となる。

$f'(x) = 0$ とするとき、すべての実数 $x$ において $e^{-(x-2)^2} > 0$ であるから、

$$-2x^2 + 4x + 1 = 0$$

すなわち、

$$2x^2 - 4x - 1 = 0$$

が成り立つ。

この2次方程式を解の公式を用いて解くと、

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 2 \cdot (-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$$

となる。

解説

積の微分法 $(fg)' = f'g + fg'$ と、合成関数の微分法 $(e^{g(x)})' = g'(x)e^{g(x)}$ を正確に適用できるかを問う計算問題である。微分計算のあと、$e^{-(x-2)^2}$ をくくり出すことで見通しよく方程式を解くことができる。指数関数 $e^X$ は常に正の値をとるため、$f'(x)=0$ の解は、くくり出したあとの多項式部分が $0$ になる解に帰着する。

答え

$x = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$