数学3 微分の基本 問題 44 解説

方針・初手

与えられた方程式の両辺を $x$ について微分する。その際、$y$ は $x$ の関数であるとして合成関数の微分法を適用し、$\frac{dy}{dx}$ について解く。

解法1

与式 $x^3 + y^3 = 1$ の両辺を $x$ で微分すると、

$$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dx}(1)$$

となる。$y$ は $x$ の関数であるから、合成関数の微分法を用いると、

$$\frac{d}{dx}(y^3) = \frac{d}{dy}(y^3) \cdot \frac{dy}{dx} = 3y^2 \frac{dy}{dx}$$

となる。これを代入して、

$$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0$$

整理すると、

$$3y^2 \frac{dy}{dx} = -3x^2$$

$$y^2 \frac{dy}{dx} = -x^2$$

ここで、$y \neq 0$ のとき、両辺を $y^2$ で割ると、

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2}{y^2}$$

が得られ、題意は示された。

解説

陰関数表示された曲線の方程式から導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める基本的な問題である。$y$ を $x$ の関数とみなし、$\frac{d}{dx}\{f(y)\} = f'(y)\frac{dy}{dx}$ を用いて計算することがポイントである。また、最終的に $\frac{dy}{dx}$ について解く際、割る数が $0$ にならないこと（本問では $y \neq 0$）を確認して記述しておくのが数学的に正確な手順である。

答え

（証明終）