数学3 微分の基本 問題 46 解説

方針・初手

関数が絶対値を含むため、$x > 0$ と $x < 0$ で場合分けを行って絶対値を外す。$x=0$ における微分可能性や連続性を問われているので、微分の定義や連続の定義にしたがい、右側極限と左側極限をそれぞれ計算して一致することを確かめるという方針をとる。

解法1

(1)

関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能であるための条件は、微分係数

$$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$

が存在することである。$f(0) = 0$ であるから、

$$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{|h|(e^{2h}+a)}{h}$$

となる。右側極限は、$h > 0$ より $|h|=h$ であるから、

$$\lim_{h \to +0} \frac{h(e^{2h}+a)}{h} = \lim_{h \to +0} (e^{2h}+a) = 1+a$$

である。左側極限は、$h < 0$ より $|h|=-h$ であるから、

$$\lim_{h \to -0} \frac{-h(e^{2h}+a)}{h} = \lim_{h \to -0} -(e^{2h}+a) = -(1+a)$$

である。極限が存在するためには、右側極限と左側極限が一致しなければならないので、

$$1+a = -(1+a)$$

これを解いて、$a = -1$ を得る。 このとき、左右の極限値はともに $0$ となるため、$f'(0) = 0$ である。

(2)

(1)より、$f(x) = |x|(e^{2x}-1)$ である。 $x > 0$ のとき、$f(x) = x(e^{2x}-1)$ であるから、積の微分法を用いて、

$$f'(x) = 1 \cdot (e^{2x}-1) + x \cdot 2e^{2x} = (2x+1)e^{2x} - 1$$

となる。 $x < 0$ のとき、$f(x) = -x(e^{2x}-1)$ であるから、同様に

$$f'(x) = -1 \cdot (e^{2x}-1) - x \cdot 2e^{2x} = -(2x+1)e^{2x} + 1$$

となる。 導関数 $f'(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0)$ が成り立つことを示せばよい。 右側極限は、

$$\lim_{x \to +0} f'(x) = \lim_{x \to +0} \{ (2x+1)e^{2x} - 1 \} = 1 \cdot 1 - 1 = 0$$

左側極限は、

$$\lim_{x \to -0} f'(x) = \lim_{x \to -0} \{ -(2x+1)e^{2x} + 1 \} = -1 \cdot 1 + 1 = 0$$

したがって、$\lim_{x \to 0} f'(x) = 0$ となり、(1)で求めた $f'(0) = 0$ と一致する。 ゆえに、導関数 $f'(x)$ は $x=0$ で連続である。

(3)

$x > 0$ において $f'(x) = (2x+1)e^{2x} - 1$ であるから、求める右側極限は、

$$\lim_{x \to +0} \frac{f'(x)}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{(2x+1)e^{2x} - 1}{x}$$

$$= \lim_{x \to +0} \frac{2xe^{2x} + e^{2x} - 1}{x}$$

$$= \lim_{x \to +0} \left( 2e^{2x} + \frac{e^{2x}-1}{x} \right)$$

ここで、公式 $\lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} = 1$ を用いると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{2x}-1}{2x} \cdot 2 \right) = 1 \cdot 2 = 2$$

となるため、右側極限は、

$$\lim_{x \to +0} \frac{f'(x)}{x} = 2 \cdot 1 + 2 = 4$$

である。

次に、$f'(x)$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す。 $f'(x)$ が $x=0$ で微分可能であるとは、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{x}$ が存在することと同値である。 $f'(0) = 0$ であるから、調べるべき極限は $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ のことである。 右側極限は上で求めたとおり $4$ である。 一方、左側極限について考える。$x < 0$ において $f'(x) = -(2x+1)e^{2x} + 1$ であるから、

$$\lim_{x \to -0} \frac{f'(x)}{x} = \lim_{x \to -0} \frac{-(2x+1)e^{2x} + 1}{x}$$

$$= \lim_{x \to -0} \left( -2e^{2x} - \frac{e^{2x}-1}{x} \right)$$

先ほどと同様に極限を計算すると、

$$\lim_{x \to -0} \frac{f'(x)}{x} = -2 \cdot 1 - 2 = -4$$

となる。 右側極限と左側極限が異なるため、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)-f'(0)}{x}$ は存在しない。 ゆえに、$f'(x)$ は $x=0$ で微分可能ではない。

解説

関数の微分可能性と連続性の定義を正確に理解しているかを問う標準的な問題である。絶対値記号を含む関数は、その中身の正負によって場合分けをして外すのが基本である。(3)における極限計算では、微分の定義式に関連する頻出の極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ の形を作り出すことがポイントとなる。この公式は $f(x)=e^x$ における $f'(0)$ の定義式そのものである。

答え

(1) $a = -1, \quad f'(0) = 0$

(2) $x \to 0$ における $f'(x)$ の極限値が $f'(0)$ と一致することを示し、連続であることを証明した。

(3) 右側極限は $4$。また、右側極限と左側極限が一致しないことから、$x=0$ で微分可能でないことを証明した。