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数学3 微分の基本問題 48 解説

方針・初手

$x^{2n}$ を含む極限で定義された関数 $f(x)$ についての連続性と最大値を考える。まずは $|x| < 1$、$x = 1$、$x = -1$、$|x| > 1$ の4つの場合に分けて極限を計算し、$f(x)$ の正体を明らかにする。その後、$x = \pm 1$ での連続性の条件から定数 $b, c$ を決定し、グラフの形状から最大値を求める。

解法1

$f(x)$ は $x$ の値によって次のように場合分けされる。

(i) $|x| < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} x^{2n} = 0$、$\lim_{n \to \infty} x^{2n-1} = 0$ であるから、

$$f(x) = \frac{0 - x^2 + bx + c}{0 + 1} = -x^2 + bx + c$$

(ii) $x = 1$ のとき $x^{2n} = 1$、$x^{2n-1} = 1$ であるから、

$$f(x) = \frac{a - 1 + b + c}{1 + 1} = \frac{a + b + c - 1}{2}$$

(iii) $x = -1$ のとき $x^{2n} = 1$、$x^{2n-1} = -1$ であるから、

$$f(x) = \frac{-a - 1 - b + c}{1 + 1} = \frac{-a - b + c - 1}{2}$$

(iv) $|x| > 1$ のとき分母・分子を $x^{2n}$ で割ると、

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{ax^{-1} - x^{2-2n} + bx^{1-2n} + cx^{-2n}}{1 + x^{-2n}} = \frac{ax^{-1} - 0 + 0 + 0}{1 + 0} = \frac{a}{x}$$

(1) $f(x)$ が実数全体で連続となるためには、場合分けの境目である $x = 1$ および $x = -1$ で連続であればよい。

$x = 1$ で連続となる条件は、

$$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} f(x) = f(1)$$

ここで、

$$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} (-x^2 + bx + c) = -1 + b + c$$

$$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} \frac{a}{x} = a$$

よって、$-1 + b + c = a$ すなわち $b + c = a + 1$ が必要である。このとき、$f(1) = \frac{a + a}{2} = a$ となり一致する。

$x = -1$ で連続となる条件は、

$$\lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} f(x) = f(-1)$$

ここで、

$$\lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1-0} \frac{a}{x} = -a$$

$$\lim_{x \to -1+0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} (-x^2 + bx + c) = -1 - b + c$$

よって、$-a = -1 - b + c$ すなわち $-b + c = -a + 1$ が必要である。このとき、$f(-1) = \frac{-a - a}{2} = -a$ となり一致する。

得られた連立方程式

$$\begin{cases} b + c = a + 1 \\ -b + c = -a + 1 \end{cases}$$

を解くと、辺々加えて $2c = 2$ より $c = 1$、辺々引いて $2b = 2a$ より $b = a$ を得る。したがって、求める条件は $b = a, c = 1$ である。

(2) (1)の結果より、$f(x)$ は以下のように表される。 $|x| \le 1$ のとき、

$$f(x) = -x^2 + ax + 1 = -\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + 1 + \frac{a^2}{4}$$

$|x| > 1$ のとき、

$$f(x) = \frac{a}{x}$$

（連続性から、$x=1, -1$ をどちらの式に含めてもよい。）

$a > 0$ であるから、$x \le -1$ の範囲では $f(x) \le -a < 0$ となり、最大値の候補にはならない。 $x \ge 1$ の範囲では、$f(x) = \frac{a}{x}$ は単調減少であるから、$x = 1$ のときに最大値 $a$ をとる。 $|x| < 1$ の範囲における2次関数の軸 $x = \frac{a}{2}$ の位置によって場合分けを行う。

(ア) $0 < \frac{a}{2} < 1$ すなわち $0 < a < 2$ のとき $x = \frac{a}{2}$ は区間 $(-1, 1)$ 内にあるため、この範囲での最大値は $x = \frac{a}{2}$ のとき $1 + \frac{a^2}{4}$ である。 $x \ge 1$ における最大値 $a$ と比較すると、

$$\left(1 + \frac{a^2}{4}\right) - a = \frac{a^2 - 4a + 4}{4} = \frac{(a - 2)^2}{4}$$

$a \neq 2$ よりこの値は正であるから、$1 + \frac{a^2}{4} > a$ となる。したがって、最大値は $x = \frac{a}{2}$ のとき $1 + \frac{a^2}{4}$ である。

(イ) $\frac{a}{2} \ge 1$ すなわち $a \ge 2$ のとき区間 $(-1, 1)$ において、関数 $f(x) = -x^2 + ax + 1$ は単調増加である。連続性より、$x = 1$ まで含めて考えると、この範囲での最大値は $x = 1$ のとき $a$ である。 $x \ge 1$ における最大値も $a$ であるから、全体の最大値は $x = 1$ のとき $a$ となる。

(3) (2)の結果を用いて場合分けして考える。

(ア) $0 < a < 2$ のとき最大値は $1 + \frac{a^2}{4}$ であるから、

$$1 + \frac{a^2}{4} = \frac{5}{4}$$

$$a^2 = 1$$

$0 < a < 2$ より、$a = 1$ である。このとき、$b = 1, c = 1$ となり、これらは条件を満たす。

(イ) $a \ge 2$ のとき最大値は $a$ であるから、

$$a = \frac{5}{4}$$

となるが、これは $a \ge 2$ を満たさず不適である。

以上より、求める定数の値は $a = 1, b = 1, c = 1$ である。

解説

$x^{2n}$ を含む極限関数は、公比 $x^2$ が $1$ より大きいか小さいかで極限が異なるため、$|x| < 1$、$x = \pm 1$、$|x| > 1$ で場合分けして関数を決定することが定石である。関数が連続になるためには、これらの境界において両側極限と関数の値が一致する必要がある。最大値を求める際には、2次関数の軸が定義域に含まれるかどうかの文字係数による場合分けを丁寧に行うことが重要となる。