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数学3 微分の基本問題 54 解説

方針・初手

直方体 $V$ と平面の交わりからできる立体 $V_1$ の体積を $U(t)$ とおき、$t$ の値によって場合分けして $U(t)$ を求める。

$V_1$ の形状は、各軸との交点が $(t,0,0), (0,2t,0), (0,0,3t)$ である四面体を基本として考え、直方体 $V$ からはみ出す部分を処理することで計算できる。その後、$h(t) = \min(U(t), 6-U(t))$ を用いて $h(t)$ を決定する。

解法1

直方体 $V$ は $0 \leqq x \leqq 1$、$0 \leqq y \leqq 2$、$0 \leqq z \leqq 3$ で表される領域であり、その体積は $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ である。

3点 $(t, 0, 0), (0, 2t, 0), (0, 0, 3t)$ を通る平面の方程式は以下のように表せる。

$$\frac{x}{t} + \frac{y}{2t} + \frac{z}{3t} = 1$$

これを変形すると $6x + 3y + 2z = 6t$ となる。

立体 $V_1$ は $V$ のうち $6x+3y+2z \leqq 6t$ を満たす部分であり、その体積を $U(t)$ とおく。

(1)

$0 < t \leqq 1$ のとき、$x \geqq 0, y \geqq 0, z \geqq 0$ かつ $6x+3y+2z \leqq 6t$ を満たす領域は、頂点が $(0,0,0), (t,0,0), (0,2t,0), (0,0,3t)$ の四面体となる。

$t \leqq 1$ のとき、$t \leqq 1, 2t \leqq 2, 3t \leqq 3$ が成り立つため、この四面体はすべて直方体 $V$ の内部に含まれる。よって、$U(t)$ はこの四面体の体積そのものとなる。

$$U(t) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot t \cdot 2t\right) \cdot 3t = t^3$$

$0 < t \leqq 1$ において $U(t) \leqq 1$ であり、全体の体積 $6$ の半分より小さいため、$h(t) = U(t)$ となる。したがって、$h(t) = t^3$ である。

(2)

$2 \leqq t < 3$ のとき、$V_1$ の補集合である $V_2$ の体積を考える。$V_2$ は $V$ のうち $6x+3y+2z \geqq 6t$ を満たす部分である。

ここで、$X = 1-x, Y = 2-y, Z = 3-z$ とおくと、これらは $0 \leqq X \leqq 1, 0 \leqq Y \leqq 2, 0 \leqq Z \leqq 3$ を満たす。このとき、不等式は次のように変形できる。

$$6(1-X) + 3(2-Y) + 2(3-Z) \geqq 6t$$

$$18 - (6X+3Y+2Z) \geqq 6t$$

$$6X+3Y+2Z \leqq 18-6t = 6(3-t)$$

ここで $t' = 3-t$ とおくと、$2 \leqq t < 3$ より $0 < t' \leqq 1$ となり、(1) と同様の四面体の体積を求めることに帰着する。

よって $V_2$ の体積は $(t')^3 = (3-t)^3$ となる。$t \geqq 2$ より $(3-t)^3 \leqq 1$ となり、全体の体積 $6$ の半分より小さいため、$h(t)$ は $V_2$ の体積と等しくなる。したがって、$h(t) = (3-t)^3$ である。

(3)

$1 < t < 2$ のときの $U(t)$ を求める。

$x \geqq 0, y \geqq 0, z \geqq 0$ かつ $6x+3y+2z \leqq 6t$ の表す四面体を $W$ とすると、その体積は $t^3$ である。$V_1$ は、$W$ から $V$ の外にはみ出した部分を除いたものとなる。はみ出す部分は、$x > 1$ の部分、$y > 2$ の部分、$z > 3$ の部分の3つである。

$x > 1$ の部分について、$X = x-1$ とおくと、$X > 0, y \geqq 0, z \geqq 0$ かつ $6X+3y+2z \leqq 6(t-1)$ を満たし、この領域の体積は $t$ を $t-1$ に置き換えた四面体の体積 $(t-1)^3$ と等しい。

同様にして、$y > 2$ の部分の体積は $(t-1)^3$、$z > 3$ の部分の体積も $(t-1)^3$ となる。

また、$x>1$ かつ $y>2$ となる部分は、$6(x-1)+3(y-2)+2z \leqq 6t-12 = 6(t-2)$ を満たすが、$t < 2$ においては $6(t-2) < 0$ となるため存在しない。他の2つの条件の重なりも同様に存在しない。

したがって、$U(t)$ は次のように求められる。

$$U(t) = t^3 - 3(t-1)^3 = -2t^3 + 9t^2 - 9t + 3$$

$T$ は $V_1$ と $V_2$ の体積が等しくなる、すなわち $U(T) = \frac{6}{2} = 3$ を満たす $t$ である。

$$-2T^3 + 9T^2 - 9T + 3 = 3$$

$$-2T^3 + 9T^2 - 9T = 0$$

$$-T(2T-3)(T-3) = 0$$

$1 < T < 2$ の範囲で解を求めると、$T = \frac{3}{2}$ となる。

(4)

求める極限は、関数 $h(t)$ の $t=T$ における左側微分係数である。

$t$ が $T = \frac{3}{2}$ に左から近づくとき（$1 < t \leqq \frac{3}{2}$）、$U(t) \leqq 3$ であるから $h(t) = U(t) = -2t^3 + 9t^2 - 9t + 3$ となる。

これを微分すると以下のようになる。

$$h'(t) = -6t^2 + 18t - 9$$

$t = \frac{3}{2}$ を代入して計算する。

$$h'\left(\frac{3}{2}\right) = -6 \cdot \frac{9}{4} + 18 \cdot \frac{3}{2} - 9 = -\frac{27}{2} + 27 - 9 = \frac{9}{2}$$

(5)

求める極限は、関数 $h(t)$ の $t=T$ における右側微分係数である。

$t$ が $T = \frac{3}{2}$ に右から近づくとき（$\frac{3}{2} < t < 2$）、$U(t) \geqq 3$ であるから $h(t) = 6 - U(t) = 2t^3 - 9t^2 + 9t + 3$ となる。

これを微分すると以下のようになる。

$$h'(t) = 6t^2 - 18t + 9$$

$t = \frac{3}{2}$ を代入して計算する。

$$h'\left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot \frac{9}{4} - 18 \cdot \frac{3}{2} + 9 = \frac{27}{2} - 27 + 9 = -\frac{9}{2}$$

(6)

これまでの結果から、$h(t)$ は区間ごとに以下のように表される。

$$h(t) = \begin{cases} t^3 & (0 < t \leqq 1) \\ -2t^3 + 9t^2 - 9t + 3 & (1 < t \leqq \frac{3}{2}) \\ 2t^3 - 9t^2 + 9t + 3 & (\frac{3}{2} < t \leqq 2) \\ (3-t)^3 & (2 < t < 3) \end{cases}$$

関数が切り替わる境界点 $t = 1, \frac{3}{2}, 2$ について微分可能性を調べる。

$t=1$ において、左側微分係数は $(t^3)'_{t=1} = 3(1)^2 = 3$ であり、右側微分係数は $(-2t^3 + 9t^2 - 9t + 3)'_{t=1} = -6(1)^2 + 18(1) - 9 = 3$ である。これらが一致するため、$t=1$ では微分可能である。

$t=\frac{3}{2}$ において、(4) と (5) より左側微分係数は $\frac{9}{2}$、右側微分係数は $-\frac{9}{2}$ となり、値が一致しないため微分可能ではない。

$t=2$ において、左側微分係数は $(2t^3 - 9t^2 + 9t + 3)'_{t=2} = 6(2)^2 - 18(2) + 9 = -3$ であり、右側微分係数は $((3-t)^3)'_{t=2} = -3(3-2)^2 = -3$ である。これらが一致するため、$t=2$ では微分可能である。

以上より、関数 $h(t)$ が微分可能でない $t$ の値は $t = \frac{3}{2}$ のみである。