数学3 微分の基本 問題 55 解説

方針・初手

関数 $g(x)$ が $x=0$ で微分可能であるとは、微係数 $\lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h}$ が存在することを意味する。関数に絶対値が含まれているため、$x=0$ における右側極限と左側極限をそれぞれ計算し、それらが一致しないことを示す方針をとる。

解法1

関数 $g(x) = |x|\sqrt{x^2+1}$ について、$g(0) = 0$ である。

$x=0$ における平均変化率の極限を考える。

右側極限について、$h \to +0$ のとき $h > 0$ より $|h| = h$ であるから、

$$\begin{aligned} \lim_{h \to +0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} &= \lim_{h \to +0} \frac{|h|\sqrt{h^2+1}}{h} \\ &= \lim_{h \to +0} \frac{h\sqrt{h^2+1}}{h} \\ &= \lim_{h \to +0} \sqrt{h^2+1} \\ &= 1 \end{aligned}$$

となる。

一方、左側極限について、$h \to -0$ のとき $h < 0$ より $|h| = -h$ であるから、

$$\begin{aligned} \lim_{h \to -0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} &= \lim_{h \to -0} \frac{|h|\sqrt{h^2+1}}{h} \\ &= \lim_{h \to -0} \frac{-h\sqrt{h^2+1}}{h} \\ &= \lim_{h \to -0} \left( -\sqrt{h^2+1} \right) \\ &= -1 \end{aligned}$$

となる。

したがって、

$$\lim_{h \to +0} \frac{g(h) - g(0)}{h} \neq \lim_{h \to -0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$$

であり、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ は存在しない。

以上より、$g(x)$ は $x=0$ で微分可能でない。

解説

関数の微分可能性の定義を問う基本的な問題である。関数に絶対値が含まれている場合、絶対値の中身の正負が変わる境界点（本問では $x=0$）において、右側からの極限と左側からの極限が異なる値になることが多い。微係数の定義式に立ち返り、右側極限と左側極限を丁寧に計算して比較することが重要である。

答え

右側極限と左側極限が異なることを示し、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h}$ が存在しないため $x=0$ で微分可能でないことを証明した。