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数学3 微分の基本問題 56 解説

方針・初手

指数関数と三角関数の積で表された関数 $e^{ax}\cos(bx)$ などを微分・積分する典型的な問題である。積の微分法を用いて展開したのち、三角関数の加法定理を利用することで、元の関数と似た簡潔な形にまとめることができるかに着目する。

解法1

(1)

$f(x) = e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta)$ を $x$ について微分する。積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$$\begin{aligned} f'(x) &= (e^{x \cos\theta})' \cos(x \sin\theta) + e^{x \cos\theta} (\cos(x \sin\theta))' \\ &= (\cos\theta) e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta) - (\sin\theta) e^{x \cos\theta} \sin(x \sin\theta) \\ &= e^{x \cos\theta} (\cos(x \sin\theta) \cos\theta - \sin(x \sin\theta) \sin\theta) \end{aligned}$$

三角関数の加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ を用いると、次のようにまとまる。

$$f'(x) = e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta + \theta)$$

よって、アは $x \sin\theta + \theta$ である。このとき $0 \leqq \theta < \pi$ であるから、$x \sin\theta \leqq x \sin\theta + \theta < x \sin\theta + \pi < x \sin\theta + 2\pi$ となり、与えられた条件を満たす。

さらに、$f''(x)$ は $f'(x)$ をもう一度 $x$ で微分したものであるから、同様の計算を行う。

$$\begin{aligned} f''(x) &= (e^{x \cos\theta})' \cos(x \sin\theta + \theta) + e^{x \cos\theta} (\cos(x \sin\theta + \theta))' \\ &= (\cos\theta) e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta + \theta) - (\sin\theta) e^{x \cos\theta} \sin(x \sin\theta + \theta) \\ &= e^{x \cos\theta} (\cos(x \sin\theta + \theta) \cos\theta - \sin(x \sin\theta + \theta) \sin\theta) \\ &= e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta + 2\theta) \end{aligned}$$

よって、イは $x \sin\theta + 2\theta$ である。$0 \leqq 2\theta < 2\pi$ より条件も満たす。

次に、$f(x)$ の原始関数 $F(x)$ を考える。微分するごとに $\cos$ の引数（偏角）に $\theta$ が足される法則性から、積分すれば $\theta$ が引かれると推測できる。実際に関数 $e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta - \theta)$ を微分してみる。

$$\begin{aligned} (e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta - \theta))' &= e^{x \cos\theta} (\cos\theta \cos(x \sin\theta - \theta) - \sin\theta \sin(x \sin\theta - \theta)) \\ &= e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta - \theta + \theta) \\ &= e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta) \\ &= f(x) \end{aligned}$$

したがって、$F(x) = e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta - \theta) + C$ である。ウは $x \sin\theta - \theta$ となる。$0 \leqq \theta < \pi$ より $-\pi < -\theta \leqq 0$ なので、条件 $x \sin\theta - 2\pi < x \sin\theta - \theta \leqq x \sin\theta$ を満たしている。

(2)

すべての実数 $x$ に対して $f'(x) = f(x)$ が成立するとき、(1) の結果より以下の等式が成り立つ。

$$e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta + \theta) = e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta)$$

$e^{x \cos\theta} \neq 0$ より両辺を割ることができ、これがすべての $x$ で成り立つので、$x=0$ を代入して $\cos\theta = \cos 0 = 1$ を得る。$0 \leqq \theta < \pi$ の範囲でこれを解くと、$\theta = 0$ となる。逆にこのとき、$\cos(x \sin 0 + 0) = \cos(0) = 1$, $\cos(x \sin 0) = 1$ となりすべての $x$ で成立する。よって、エは $0$ である。

次に、(1) で確認した規則性から、$n$ 階微分 $f^{(n)}(x)$ は引数に $n\theta$ が足される形になることがわかるため、$f^{(3)}(x) = e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta + 3\theta)$ となる。すべての実数 $x$ に対して $f^{(3)}(x) = f(x)$ が成立するとき、

$$e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta + 3\theta) = e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta)$$

先程と同様に $x=0$ を代入すると、$\cos(3\theta) = 1$ を得る。$0 \leqq \theta < \pi$ より $0 \leqq 3\theta < 3\pi$ であり、この範囲で $\cos(3\theta) = 1$ を満たすのは $3\theta = 0, 2\pi$ のみである。すなわち、$\theta = 0, \frac{2}{3}\pi$ である。$\theta = 0$ はエに該当するため、オは $\frac{2}{3}\pi$ である。

(3)

$g(x) = e^{x \cos\theta} \sin(x \sin\theta)$ を微分する。

$$\begin{aligned} g'(x) &= (\cos\theta) e^{x \cos\theta} \sin(x \sin\theta) + (\sin\theta) e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta) \\ &= (\sin\theta) e^{x \cos\theta} \cos(x \sin\theta) + (\cos\theta) e^{x \cos\theta} \sin(x \sin\theta) \\ &= (\sin\theta) f(x) + (\cos\theta) g(x) \end{aligned}$$

また、(1) の途中計算より $f'(x) = (\cos\theta) f(x) - (\sin\theta) g(x)$ である。よって、カは $\cos\theta$、キは $-\sin\theta$、クは $\sin\theta$、ケは $\cos\theta$ となる。

次に、与えられた等式 $f'(x) + \alpha g'(x) = \beta (f(x) + \alpha g(x))$ に代入する。

$$(\cos\theta) f(x) - (\sin\theta) g(x) + \alpha ((\sin\theta) f(x) + (\cos\theta) g(x)) = \beta f(x) + \alpha \beta g(x)$$

$f(x)$ と $g(x)$ について整理する。

$$(\cos\theta + \alpha \sin\theta) f(x) + (-\sin\theta + \alpha \cos\theta) g(x) = \beta f(x) + \alpha \beta g(x)$$

これがすべての実数 $x$ で成立するための条件を求める。$\theta \neq 0$ かつ $0 \leqq \theta < \pi$ より $\sin\theta > 0$ であるため、$f(x)$ と $g(x)$ は一次独立である。実際、$x=0$ を代入すると $f(0)=1, g(0)=0$ となり、$x = \frac{\pi}{2\sin\theta}$ を代入すると $f\left(\frac{\pi}{2\sin\theta}\right)=0, g\left(\frac{\pi}{2\sin\theta}\right) \neq 0$ となることからわかる。したがって、両辺の係数を比較できる。

$$\begin{cases} \cos\theta + \alpha \sin\theta = \beta \\ -\sin\theta + \alpha \cos\theta = \alpha \beta \end{cases}$$

第1式を第2式に代入して整理する。

$$\begin{aligned} -\sin\theta + \alpha \cos\theta &= \alpha (\cos\theta + \alpha \sin\theta) \\ -\sin\theta + \alpha \cos\theta &= \alpha \cos\theta + \alpha^2 \sin\theta \\ -\sin\theta &= \alpha^2 \sin\theta \\ \sin\theta (1 + \alpha^2) &= 0 \end{aligned}$$

$\sin\theta \neq 0$ であるから、$1 + \alpha^2 = 0$ となり、$\alpha^2 = -1$ より $\alpha = \pm i$ を得る。

$\alpha = i$ のとき 第1式より $\beta = \cos\theta + i \sin\theta$ となる。

$\alpha = -i$ のとき 第1式より $\beta = \cos\theta - i \sin\theta$ となる。

これらより、$(\alpha, \beta)$ の組は $(i, \cos\theta + i \sin\theta)$ または $(-i, \cos\theta - i \sin\theta)$ である。

解説

指数関数と三角関数の積の微分において、加法定理を用いると微分するたびに偏角が $\theta$ だけ回転するという美しい性質が現れる問題である。これは大学数学における複素指数関数 $e^{(\cos\theta + i\sin\theta)x}$ の微分を実数部分と虚数部分に分けたものと同値であり、(3) で虚数単位 $i$ が現れるのはまさにその背景によるものである。微分積分の計算力だけでなく、恒等式の係数比較における一次独立性の確認など、論理の正確さも問われる良問である。