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数学3 微分の基本問題 57 解説

方針・初手

(1) 与えられた関係式 $x = \tan^2 y$ に $x = 3$ を代入し、$y$ についての三角方程式を解く。その際、与えられた $y$ の変域 $\frac{\pi}{2} < y < \pi$ に注意して解を絞り込む。

(2) $y$ を $x$ の関数として陽に表すこともできるが、ここでは関係式 $x = \tan^2 y$ の両辺を直接 $x$ で微分（陰関数の微分法）することで $\frac{dy}{dx}$ を求める。さらにそれを $x$ で微分して $\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算する。計算の過程で生じる $\tan y$ は、$y$ の変域を考慮して $x$ の式で表す。

解法1

(1)

与えられた条件式 $x = \tan^2 y$ に $x = 3$ を代入すると、

$$\tan^2 y = 3$$

となる。したがって、

$$\tan y = \pm \sqrt{3}$$

である。ここで、条件より $\frac{\pi}{2} < y < \pi$ であり、この範囲において $\tan y < 0$ であるから、

$$\tan y = -\sqrt{3}$$

となる。$\frac{\pi}{2} < y < \pi$ の範囲でこれを解くと、

$$y = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3}\pi$$

となる。

(2)

$x = \tan^2 y$ の両辺を $x$ で微分すると、合成関数の微分法により、

$$1 = 2 \tan y \cdot \frac{d}{dx}(\tan y)$$

$$1 = 2 \tan y \cdot \frac{1}{\cos^2 y} \cdot \frac{dy}{dx}$$

となる。ここで、$\frac{1}{\cos^2 y} = 1 + \tan^2 y = 1 + x$ である。また、条件 $\frac{\pi}{2} < y < \pi$ より $\tan y < 0$ であり、$x = \tan^2 y$ であるから、

$$\tan y = -\sqrt{x}$$

と表せる。これらを上の式に代入すると、

$$1 = 2(-\sqrt{x})(1 + x)\frac{dy}{dx}$$

$$1 = -2\sqrt{x}(x + 1)\frac{dy}{dx}$$

したがって、

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(x + 1)}$$

となる。

次に、これをさらに $x$ で微分して $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。 $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} (x\sqrt{x} + \sqrt{x})^{-1} = -\frac{1}{2} (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})^{-1}$ と変形して微分すると、

$$\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx} \left\{ -\frac{1}{2} (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})^{-1} \right\} \\ &= -\frac{1}{2} \cdot (-1) (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}})^{-2} \cdot \frac{d}{dx} (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) \\ &= \frac{1}{2(x\sqrt{x} + \sqrt{x})^2} \cdot \left( \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \right) \\ &= \frac{1}{2\left\{ \sqrt{x}(x + 1) \right\}^2} \cdot \frac{3x + 1}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2x(x + 1)^2} \cdot \frac{3x + 1}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x + 1}{4x\sqrt{x}(x + 1)^2} \end{aligned}$$

となる。

解説

逆関数の微分法、または陰関数の微分法を用いる基本的な問題である。(1) でも (2) でも、与えられた定義域 $\frac{\pi}{2} < y < \pi$ から $\tan y$ の符号が負に確定することが最大のポイントとなる。$\tan y = \pm\sqrt{x}$ のまま進めてしまうと致命的なミスになるため、条件式から文字の符号や取り得る値の範囲を常に確認する習慣をつけておきたい。$\frac{d^2y}{dx^2}$ の計算では、商の微分法を用いるよりも、負の指数を用いて合成関数の微分として処理した方が計算ミスを防ぎやすい。