数学3 グラフ・増減・極値問題 3 解説

方針・初手

(1) は、曲線 $y=1-\cos x$ の導関数を求めて接線の方程式を立て、その $x$ 切片を求めるという標準的な手順で解きます。

(2) は、(1) で求めた $f(t)$ を用いて極限を計算します。$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ の形を作り出すために、分子・分母に $1+\cos t$ を掛けるか、半角の公式を利用します。

(3) は、関数を微分して導関数の符号を調べます。微分の計算過程で式を上手く因数分解して整理できるかがポイントです。ここでも半角の公式を用いると計算量が減り見通しが良くなります。

解法1

(1)

$y = 1 - \cos x$ を $x$ で微分すると、$y' = \sin x$ である。曲線上の点 $(t, 1 - \cos t)$ における接線の方程式は

$$y - (1 - \cos t) = \sin t \cdot (x - t)$$

$$y = (\sin t)x - t \sin t + 1 - \cos t$$

この接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標が $f(t)$ であるから、$y=0, x=f(t)$ を代入して

$$0 = f(t) \sin t - t \sin t + 1 - \cos t$$

$-\pi < t < \pi$ かつ $t \neq 0$ より $\sin t \neq 0$ であるから、両辺を $\sin t$ で割って整理すると

$$f(t) = \frac{t \sin t + \cos t - 1}{\sin t} = t - \frac{1 - \cos t}{\sin t}$$

(2)

(1) の結果より

$$\frac{f(t)}{t} = 1 - \frac{1 - \cos t}{t \sin t}$$

ここで、右辺第2項の分子・分母に $1 + \cos t$ を掛けると

$$\frac{1 - \cos t}{t \sin t} = \frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}{t \sin t (1 + \cos t)} = \frac{1 - \cos^2 t}{t \sin t (1 + \cos t)}$$

$$= \frac{\sin^2 t}{t \sin t (1 + \cos t)} = \frac{\sin t}{t} \cdot \frac{1}{1 + \cos t}$$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であり、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$ であるから

$$\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t \sin t} = 1 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

よって

$$\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

(3)

$g(t) = \frac{f(t)}{t}$ とおくと、$g(t) = 1 - \frac{1 - \cos t}{t \sin t}$ である。 $-\pi < t < \pi, t \neq 0$ において、これを $t$ で微分すると

$$g'(t) = - \frac{\sin t \cdot (t \sin t) - (1 - \cos t)(\sin t + t \cos t)}{(t \sin t)^2}$$

分子を展開して整理する。

$$(\text{分子}) = t \sin^2 t - \sin t - t \cos t + \sin t \cos t + t \cos^2 t$$

$$= t(\sin^2 t + \cos^2 t) - \sin t - t \cos t + \sin t \cos t$$

$$= t - \sin t - t \cos t + \sin t \cos t$$

$$= (t - \sin t) - \cos t(t - \sin t)$$

$$= (t - \sin t)(1 - \cos t)$$

したがって、導関数は次のように変形できる。

$$g'(t) = - \frac{(t - \sin t)(1 - \cos t)}{t^2 \sin^2 t}$$

$$= - \frac{(t - \sin t)(1 - \cos t)}{t^2 (1 - \cos^2 t)}$$

$$= - \frac{t - \sin t}{t^2 (1 + \cos t)}$$

ここで、$t \neq 0$ より $t^2 > 0$ であり、$-\pi < t < \pi$ より $1 + \cos t > 0$ であるから、分母は常に正である。また、分子の $t - \sin t$ について、 $t > 0$ のとき $t > \sin t$ より $t - \sin t > 0$ $t < 0$ のとき $t < \sin t$ より $t - \sin t < 0$ が成り立つ。

よって $g'(t)$ の符号は以下のようになる。 $t < 0$ のとき、$g'(t) > 0$ $t > 0$ のとき、$g'(t) < 0$

以上より、関数 $\frac{f(t)}{t}$ は $-\pi < t < 0$ において単調に増加し、$0 < t < \pi$ において単調に減少する。

解法2

(1)

（解法1と同様に $f(t) = t - \frac{1 - \cos t}{\sin t}$ まで求める）

半角の公式 $1 - \cos t = 2 \sin^2 \frac{t}{2}$ および2倍角の公式 $\sin t = 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}$ を用いると

$$f(t) = t - \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}} = t - \tan \frac{t}{2}$$

(2)

$$\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t - \tan \frac{t}{2}}{t} = \lim_{t \to 0} \left( 1 - \frac{\tan \frac{t}{2}}{t} \right)$$

$$= \lim_{t \to 0} \left( 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \frac{t}{2}}{\frac{t}{2}} \right)$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ を用いると

$$\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$$

(3)

$g(t) = \frac{f(t)}{t} = 1 - \frac{\tan \frac{t}{2}}{t}$ とおき、これを微分すると

$$g'(t) = - \frac{ \frac{1}{2 \cos^2 \frac{t}{2}} \cdot t - \tan \frac{t}{2} \cdot 1 }{t^2}$$

$$= - \frac{ t - 2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2} }{ 2 t^2 \cos^2 \frac{t}{2} }$$

$$= - \frac{t - \sin t}{2 t^2 \cos^2 \frac{t}{2}}$$

$-\pi < t < \pi, t \neq 0$ において、分母は $2 t^2 \cos^2 \frac{t}{2} > 0$ であるため、$g'(t)$ の符号は $-(t - \sin t)$ の符号に一致する。 $t > 0$ のとき $t > \sin t$ より $g'(t) < 0$ $t < 0$ のとき $t < \sin t$ より $g'(t) > 0$

よって、関数 $\frac{f(t)}{t}$ は $-\pi < t < 0$ において単調に増加し、$0 < t < \pi$ において単調に減少する。

解説

(1) の結果の形によって、その後の (2), (3) の計算量が大きく変わる問題です。三角関数における $1 - \cos t$ という形を見たら、「分子・分母に $1 + \cos t$ を掛けて $\sin^2 t$ を作り出す」という極限の定石処理か、「半角の公式を用いて次数を下げる（角を半分にする）」という処理のどちらかを連想できるようにしておくことが重要です。本問においては、半角の公式を利用した方が (2) の極限も (3) の微分も圧倒的に見通し良く計算できます。解法1のように直接計算する場合でも、(3) の微分の分子が因数分解できることに気が付けば突破可能です。