数学3 グラフ・増減・極値問題 5 解説

方針・初手

(1) は、与えられた条件 $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -33$ と $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ をそのまま立式し、定数 $a, b$ に関する連立方程式を解く。 (2) は、関数が極小値をとることを示すために、導関数の符号変化を調べる。後続の (3) で全体の増減を調べる必要があるため、ここで導関数 $f'(x)$ を因数分解し、常に正となる部分を分離する工夫を行う。 (3) は、(2) で得られた導関数の式をもとに、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ における関数の増減表を作成し、極大値を求める。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ で微分すると、次のようになる。

$$f'(x) = -4 \sin 4x - a \sin x + b \cos x$$

条件 $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -33$ より、

$$\cos \pi + a \cos \frac{\pi}{4} + b \sin \frac{\pi}{4} = -33$$

$$-1 + \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}} = -33$$

$$\frac{a + b}{\sqrt{2}} = -32$$

$$a + b = -32\sqrt{2}$$

これを①とする。次に、条件 $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ より、

$$-4 \sin \pi - a \sin \frac{\pi}{4} + b \cos \frac{\pi}{4} = 0$$

$$0 - \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{b}{\sqrt{2}} = 0$$

$$-a + b = 0$$

$$a = b$$

これを②とする。②を①に代入して解くと、

$$2a = -32\sqrt{2}$$

$$a = -16\sqrt{2}$$

したがって、求める定数の値は、

$$a = -16\sqrt{2}, \quad b = -16\sqrt{2}$$

(2)

(1) の結果より、$f'(x)$ は次のように表される。

$$f'(x) = -4 \sin 4x + 16\sqrt{2} \sin x - 16\sqrt{2} \cos x$$

$$f'(x) = -4 \sin 4x + 16\sqrt{2} (\sin x - \cos x)$$

ここで、2倍角の公式を用いて $\sin 4x$ を変形する。

$$\begin{aligned} \sin 4x &= 2 \sin 2x \cos 2x \\ &= 4 \sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) \\ &= -4 \sin x \cos x (\sin^2 x - \cos^2 x) \\ &= -4 \sin x \cos x (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \end{aligned}$$

これを $f'(x)$ に代入して因数分解する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= -4 \{ -4 \sin x \cos x (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) \} + 16\sqrt{2} (\sin x - \cos x) \\ &= 16 \sin x \cos x (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x) + 16\sqrt{2} (\sin x - \cos x) \\ &= 16 (\sin x - \cos x) \{ \sin x \cos x (\sin x + \cos x) + \sqrt{2} \} \end{aligned}$$

ここで、中括弧内の式の符号を調べるために、$t = \sin x + \cos x$ とおく。三角関数の合成より、

$$t = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

$x$ はすべての実数をとり得るが、任意の $x$ に対して $-1 \leqq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$ であるから、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ である。また、$t$ を2乗すると、

$$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2 \sin x \cos x$$

$$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$

これらを用いて、中括弧内の式を $t$ の関数 $g(t)$ として表す。

$$g(t) = \frac{t^2 - 1}{2} \cdot t + \sqrt{2} = \frac{t^3 - t + 2\sqrt{2}}{2}$$

$g(t)$ の増減を調べるために $t$ で微分する。

$$g'(t) = \frac{3t^2 - 1}{2}$$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ のときである。区間 $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ において、$g(t)$ の最小値の候補は極小値と区間の左端の値である。

$$g(-\sqrt{2}) = \frac{-2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$$

$$g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 2\sqrt{2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{2\sqrt{3}}{9} + 2\sqrt{2} \right)$$

ここで、$\frac{2\sqrt{3}}{9} = \sqrt{\frac{12}{81}} < 1$ であり、$2\sqrt{2} = \sqrt{8} > 2$ であるから、明らかに $g\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) > 0$ である。

したがって、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ において常に $g(t) > 0$ となる。ゆえに、任意の $x$ に対して $\sin x \cos x (\sin x + \cos x) + \sqrt{2} > 0$ であり、$f'(x)$ の符号は $\sin x - \cos x$ の符号と一致する。

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ であるため、$x = \frac{\pi}{4}$ の前後でこの式の値は負から正へと変化する。よって、$f'(x)$ の符号も $x = \frac{\pi}{4}$ の前後で負から正に変わり、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で極小になることが示された。

(3)

(2) の議論より、$f'(x)$ の符号は $0 \leqq x \leqq 2\pi$ において $\sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ の符号と一致する。

$f'(x) = 0$ となるのは、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲において $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ のときである。増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{4}$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = \frac{5\pi}{4}$ で極大となる。そのときの極大値を求める。$a = -16\sqrt{2}, b = -16\sqrt{2}$ より、

$$f(x) = \cos 4x - 16\sqrt{2} (\cos x + \sin x)$$

$$\begin{aligned} f\left(\frac{5\pi}{4}\right) &= \cos 5\pi - 16\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{5\pi}{4} \right) \\ &= -1 - 16\sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= -1 - 16\sqrt{2} \left( -\frac{2}{\sqrt{2}} \right) \\ &= -1 + 32 \\ &= 31 \end{aligned}$$

解法2

(2) の極値の判定について、第2次導関数を用いる別解を示す。

(2)

(1) より $f'(x) = -4 \sin 4x + 16\sqrt{2} \sin x - 16\sqrt{2} \cos x$ である。さらに $x$ で微分して第2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$$f''(x) = -16 \cos 4x + 16\sqrt{2} \cos x + 16\sqrt{2} \sin x$$

$$f''(x) = -16 \cos 4x + 16\sqrt{2} (\cos x + \sin x)$$

$x = \frac{\pi}{4}$ のときの $f''(x)$ の値を調べる。

$$\begin{aligned} f''\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -16 \cos \pi + 16\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} \right) \\ &= -16 \cdot (-1) + 16\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= 16 + 16\sqrt{2} \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \\ &= 16 + 32 \\ &= 48 \end{aligned}$$

条件より $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ であり、かつ $f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = 48 > 0$ であるから、関数 $f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で極小になることが示された。

解説

三角関数の微分と極値に関する総合的な問題である。 (1) は基本的な微分計算と条件の代入による連立方程式であり、確実に正解したい。 (2) は極小値をとることの証明である。解法2のように第2次導関数の符号（$f'(a)=0$ かつ $f''(a)>0$ ならば極小）を用いると非常に簡潔に示せる。しかし、(3) で区間全体の増減表を完成させる必要があるため、解法1のように導関数 $f'(x)$ を因数分解し、符号変化を網羅的に捉える方針が最終的には必要となる。このとき、$\sin x \pm \cos x$ の塊を見つけ、対称式の要領で $t = \sin x + \cos x$ と置き換えて常に正となる因子を分離する処理は、難関大学で頻出の典型手法である。