数学3 グラフ・増減・極値 問題 6 解説

方針・初手

• 与えられた関数 $f(x)$ をそのまま商の微分法で計算してもよいが、分子に分母と同じ形を作り出して $f(x) = 1 - \frac{1}{1 + \sin x}$ と変形すると、計算が大幅に楽になる。
• 定義域は $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3}{2}\pi$ であり、この範囲において分母 $1 + \sin x$ は常に正である（$0$ になるのは境界のときのみ）。
• グラフの概形を描くためには、導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を求めて増減・極値・凹凸を調べ、さらに定義域の端点における極限を求めて漸近線の挙動を把握する。

解法1

関数 $f(x)$ を変形すると、以下のようになる。

$$f(x) = \frac{\sin x}{1 + \sin x} = \frac{(1 + \sin x) - 1}{1 + \sin x} = 1 - (1 + \sin x)^{-1}$$

(1)

$f(x)$ を $x$ で微分する。

$$f'(x) = -(-1)(1 + \sin x)^{-2} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{(1 + \sin x)^2}$$

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3}{2}\pi$ の範囲において、$(1 + \sin x)^2 > 0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $\cos x$ の符号と一致する。 $f'(x) = 0$ となるのは $\cos x = 0$ のときであり、与えられた範囲では $x = \frac{\pi}{2}$ である。

増減表は以下のようになる。

したがって、$f(x)$ は $-\frac{\pi}{2} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ で単調に増加し、$\frac{\pi}{2} \leqq x < \frac{3}{2}\pi$ で単調に減少する。 極値は $x = \frac{\pi}{2}$ のとき極大となり、極小値はない。

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{1 + \sin \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

よって、極大値は $\frac{1}{2}$ $\left(x = \frac{\pi}{2}\right)$ である。

(2)

さらに $f'(x)$ を微分して $f''(x)$ を求める。商の微分法を用いる。

$$\begin{aligned} f''(x) &= \frac{-\sin x \cdot (1 + \sin x)^2 - \cos x \cdot 2(1 + \sin x)\cos x}{(1 + \sin x)^4} \\ &= \frac{-\sin x(1 + \sin x) - 2\cos^2 x}{(1 + \sin x)^3} \\ &= \frac{-\sin x - \sin^2 x - 2(1 - \sin^2 x)}{(1 + \sin x)^3} \\ &= \frac{\sin^2 x - \sin x - 2}{(1 + \sin x)^3} \\ &= \frac{(\sin x - 2)(\sin x + 1)}{(1 + \sin x)^3} \end{aligned}$$

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3}{2}\pi$ の範囲において、常に $-1 < \sin x \leqq 1$ であるから、 $\sin x - 2 < 0$ かつ $\sin x + 1 > 0$ となる。 したがって、分子の $(\sin x - 2)(\sin x + 1)$ は常に負である。 また、分母の $(1 + \sin x)^3$ は常に正である。

よって、与えられた定義域において常に $f''(x) < 0$ となる。 したがって、曲線 $y = f(x)$ は常に上に凸である。

(3)

定義域の両端における右側極限と左側極限をそれぞれ求める。 $x \to -\frac{\pi}{2}+0$ および $x \to \frac{3}{2}\pi-0$ のとき、いずれも $\sin x \to -1$ となるため、分母は $1 + \sin x \to +0$ となる。 分子は $\sin x \to -1$ （負の定数）に近づくため、極限は以下のようになる。

$$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} f(x) = \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} \frac{\sin x}{1 + \sin x} = -\infty$$

$$\lim_{x \to \frac{3}{2}\pi-0} f(x) = \lim_{x \to \frac{3}{2}\pi-0} \frac{\sin x}{1 + \sin x} = -\infty$$

(4)

(1)〜(3)の結果より、グラフの概形を描く上で必要な情報をまとめる。

• $x = \frac{\pi}{2}$ で極大かつ最大値 $\frac{1}{2}$ をとる。
• 常に上に凸のなめらかな曲線である。
• 漸近線は直線 $x = -\frac{\pi}{2}$ および $x = \frac{3}{2}\pi$ であり、グラフはこれらに沿って下方に限りなく伸びる。
• 座標軸との交点について、$f(x) = 0 \iff \sin x = 0$ より、$x = 0, \pi$。すなわち、原点 $(0, 0)$ と点 $(\pi, 0)$ を通る。

（解答用紙には、これらの特徴を満たす釣り鐘型の曲線を描く）

解説

分数関数の微積分の問題において、分子の次数を分母より下げる（今回は「定数 ＋ （分子が定数の分数関数）」の形にする）変形を行うと、計算が飛躍的に簡単になり、計算ミスを防ぐことができる。 第2次導関数 $f''(x)$ の計算では、三角関数の相互関係 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて $\sin x$ のみに統一し、因数分解することで符号判定が容易になる。この際、$\sin x$ のとりうる値の範囲から各因数の符号を確実に判定することが重要である。

答え

(1)

$-\frac{\pi}{2} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ で単調増加、$\frac{\pi}{2} \leqq x < \frac{3}{2}\pi$ で単調減少。

極大値は $\frac{1}{2}$ $\left(x = \frac{\pi}{2}\right)$、極小値はなし。

(2)

区間 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{3}{2}\pi\right)$ において、常に上に凸である。

(3)

$$\lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+0} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to \frac{3}{2}\pi-0} f(x) = -\infty$$

(4)

直線 $x = -\frac{\pi}{2}$ および $x = \frac{3}{2}\pi$ を漸近線とし、原点と点 $(\pi, 0)$ を通り、頂点が $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)$ である上に凸の曲線となる。