数学3 グラフ・増減・極値問題 7 解説

方針・初手

分数式の絶対値を含む関数の漸近線を求める問題である。まずは絶対値の中身の分数式について、分子を分母で割ることで次数を下げ、「(1次式) + (分子が定数の分数式)」の形に変形する。その後、$x \to \pm\infty$ と分母が $0$ になる $x \to 1$ における極限を調べ、漸近線を見つける。絶対値がついているため、$x \to \infty$ と $x \to -\infty$ で近づく直線が異なる点に注意する。

解法1

与えられた関数の絶対値の中身を変形する。

$$\frac{2x^2 + x - 1}{x - 1} = \frac{2x(x - 1) + 3(x - 1) + 2}{x - 1} = 2x + 3 + \frac{2}{x - 1}$$

よって、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = \left| 2x + 3 + \frac{2}{x - 1} \right|$$

(i) $y$ 軸に平行な漸近線

$x \to 1+0$ および $x \to 1-0$ のとき、

$$\left| 2x + 3 + \frac{2}{x - 1} \right| \to \infty$$

となるため、直線 $x = 1$ は漸近線である。

(ii) $y$ 軸に平行でない漸近線

$x \to \infty$ のときを考える。

$x$ が十分に大きいとき、$2x + 3 + \frac{2}{x - 1} > 0$ であるから、絶対値記号はそのまま外れて

$$f(x) = 2x + 3 + \frac{2}{x - 1}$$

となる。ここで、

$$\lim_{x \to \infty} \{ f(x) - (2x + 3) \} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x - 1} = 0$$

であるから、直線 $y = 2x + 3$ は漸近線である。

次に、$x \to -\infty$ のときを考える。

$x$ が十分に小さい（負で絶対値が十分に大きい）とき、$2x + 3 + \frac{2}{x - 1} < 0$ であるから、絶対値記号はマイナスがついて外れて

$$f(x) = -\left( 2x + 3 + \frac{2}{x - 1} \right) = -2x - 3 - \frac{2}{x - 1}$$

となる。ここで、

$$\lim_{x \to -\infty} \{ f(x) - (-2x - 3) \} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x - 1} = 0$$

であるから、直線 $y = -2x - 3$ も漸近線である。

以上より、求める漸近線の方程式は $x = 1$, $y = 2x + 3$, $y = -2x - 3$ である。

解説

有理関数の漸近線を調べる基本的な問題である。「分子の次数 $\ge$ 分母の次数」となっている分数式は、分子を分母で割り、商と余りを用いて式を変形するのが定石である。この変形を行うことで、$y$ 軸に平行でない漸近線が商の形から直感的に見えやすくなる。

本問は絶対値がついているため、$x \to \infty$ と $x \to -\infty$ で絶対値の中身の符号が異なることに気をつけなければならない。グラフを概形としてイメージすれば、直線 $y = 2x + 3$ の $x$ が負の部分を $x$ 軸で折り返したものが $y = -2x - 3$ になっていることが分かるだろう。