数学3 グラフ・増減・極値問題 8 解説

方針・初手

関数 $f(x) = |x|(x+2)^2 e^{-x}$ は絶対値を含むため、$x \ge 0$ と $x < 0$ の場合に分けて絶対値を外し、それぞれ導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を計算する。 $x=0$ では関数は連続であるが、微分の左右極限が異なるため微分不可能である点に注意する。増減表を作成し、極限 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$ を調べることで、グラフの概形を把握する。

解法1

関数を $f(x) = |x|(x+2)^2 e^{-x}$ とおく。

(i) $x > 0$ のとき

$f(x) = x(x+2)^2 e^{-x}$ であるから、これを微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \{ (x+2)^2 + 2x(x+2) \} e^{-x} + x(x+2)^2 (-e^{-x}) \\ &= e^{-x}(x+2) \{ (x+2) + 2x - x(x+2) \} \\ &= e^{-x}(x+2) (-x^2 + x + 2) \\ &= -e^{-x}(x+2)(x-2)(x+1) \end{aligned}$$

$x > 0$ の範囲において $f'(x) = 0$ となるのは $x=2$ のときである。さらに第2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f''(x) &= - \{ -e^{-x} (-x^3 - x^2 + 4x + 4) + e^{-x} (-3x^2 - 2x + 4) \} \\ &= e^{-x} ( -x^3 - x^2 + 4x + 4 + 3x^2 + 2x - 4 ) \\ &= e^{-x} ( -x^3 + 2x^2 + 6x ) \\ &= -e^{-x} x (x^2 - 2x - 6) \end{aligned}$$

$x > 0$ の範囲において $f''(x) = 0$ となるのは、$x^2 - 2x - 6 = 0$ より $x = 1+\sqrt{7}$ のときである。

(ii) $x < 0$ のとき

$f(x) = -x(x+2)^2 e^{-x}$ であるから、これを微分する。 (i) の結果と符号が反転するため、以下のようになる。

$$f'(x) = e^{-x}(x+2)(x-2)(x+1)$$

$x < 0$ の範囲において $f'(x) = 0$ となるのは $x=-2, -1$ のときである。同様に第2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$$f''(x) = e^{-x} x (x^2 - 2x - 6)$$

$x < 0$ の範囲において $f''(x) = 0$ となるのは、$x^2 - 2x - 6 = 0$ より $x = 1-\sqrt{7}$ のときである。

(iii) $x = 0$ のとき

$f(0) = 0$ である。微分の左右極限を調べると、

$$\lim_{x \to +0} f'(x) = \lim_{x \to +0} \left\{ -e^{-x}(x+2)(x-2)(x+1) \right\} = 4$$

$$\lim_{x \to -0} f'(x) = \lim_{x \to -0} \left\{ e^{-x}(x+2)(x-2)(x+1) \right\} = -4$$

左右の極限値が異なるため $x=0$ で $f(x)$ は微分不可能であるが、連続関数であり、前後で $f'(x)$ の符号が負から正へ変化するため極小値をとる。

(iv) 極限の計算

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x(x+2)^2}{e^x} = 0$$

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} -x(x+2)^2 e^{-x} = \infty$$

(v) 増減・凹凸表

以上の結果より、増減と凹凸の表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$1-\sqrt{7}$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$	$1+\sqrt{7}$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$\times$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$f''(x)$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$\times$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	0	$\nearrow$	変曲点	$\nearrow$	$e$	$\searrow$	0	$\nearrow$	$32e^{-2}$	$\searrow$	変曲点	$\searrow$

表より、極値は以下の通りである。

極大値：$x = -1$ のとき $f(-1) = e$、$x = 2$ のとき $f(2) = 32e^{-2}$ 極小値：$x = -2$ のとき $f(-2) = 0$、$x = 0$ のとき $f(0) = 0$

変曲点の座標は、上記の $x$ の値を $f(x)$ に代入して求める。 $x = 1-\sqrt{7}$ のとき、 $f(1-\sqrt{7}) = (\sqrt{7}-1)(3-\sqrt{7})^2 e^{\sqrt{7}-1} = (\sqrt{7}-1)(16-6\sqrt{7})e^{\sqrt{7}-1} = (22\sqrt{7}-58)e^{\sqrt{7}-1}$

$x = 1+\sqrt{7}$ のとき、 $f(1+\sqrt{7}) = (1+\sqrt{7})(3+\sqrt{7})^2 e^{-1-\sqrt{7}} = (1+\sqrt{7})(16+6\sqrt{7})e^{-1-\sqrt{7}} = (58+22\sqrt{7})e^{-1-\sqrt{7}}$

グラフの概形は、以上の増減・凹凸と極限 $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ （$x$ 軸に漸近する）、さらに $x=0$ においてグラフが尖点を持つ（左側からの接線の傾きが $-4$、右側からの接線の傾きが $4$）ことを反映させた形となる。

解説

絶対値を含む関数の微積分の典型問題である。まず $x \ge 0$ と $x < 0$ で場合分けを行い、それぞれの区間で微分計算を丁寧に行うことが重要である。また、絶対値の中身が $0$ になる $x=0$ の点については、原則として微分不可能であることを疑い、左右の微分係数を調べて尖点になることを確認する。グラフをかく際には、関数の無限大での振る舞い（漸近線）を調べることも不可欠である。