数学3 グラフ・増減・極値問題 9 解説

方針・初手

商の微分公式を用いて関数 $f(x)$ を微分し、導関数 $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。指数関数が複数現れるため、そのまま微分する方針と、$t = e^x$ と置き換えて有理関数としてから微分する方針の2通りが考えられる。極値を求める際の代入計算では、$e^x$ と $e^{-x}$ の値から直接計算すると見通しが良い。

解法1

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ について微分する。商の微分公式より、

$$f'(x) = \frac{(e^x - e^{-x})'(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x}) \{(e^x + e^{-x})^2\}'}{(e^x + e^{-x})^4}$$

$$= \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x}) \cdot 2(e^x + e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^4}$$

分母・分子を $(e^x + e^{-x})$ で約分して整理する。

$$f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - 2(e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^3}$$

$$= \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - 2(e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^3}$$

$$= \frac{-e^{2x} + 6 - e^{-2x}}{(e^x + e^{-x})^3}$$

$$= \frac{-(e^{4x} - 6e^{2x} + 1)}{e^{2x}(e^x + e^{-x})^3}$$

$f'(x) = 0$ とすると、分子が $0$ になるため、

$$e^{4x} - 6e^{2x} + 1 = 0$$

$e^{2x}$ についての2次方程式とみて解くと、

$$e^{2x} = 3 \pm \sqrt{3^2 - 1} = 3 \pm 2\sqrt{2}$$

$e^x > 0$ であるから、二重根号を外して $e^x$ を求める。

$$e^x = \sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \pm 1$$

したがって、

$$x = \log(\sqrt{2} \pm 1)$$

ここで、$\alpha = \log(\sqrt{2} - 1)$、$\beta = \log(\sqrt{2} + 1)$ とおく。$e^{2x} > 0, e^x + e^{-x} > 0$ より分母は常に正であるから、$f'(x)$ の符号は分子の $-(e^{4x} - 6e^{2x} + 1)$ の符号と一致する。よって、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \text{極大} & \searrow \end{array}$$

極値を計算する。 $x = \alpha$ のとき、$e^x = \sqrt{2} - 1$、また $e^{-x} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$ であるから、

$$f(\alpha) = \frac{(\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1)}{\{(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1)\}^2} = \frac{-2}{(2\sqrt{2})^2} = -\frac{1}{4}$$

$x = \beta$ のとき、$e^x = \sqrt{2} + 1$、また $e^{-x} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ であるから、

$$f(\beta) = \frac{(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)}{\{(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1)\}^2} = \frac{2}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{4}$$

解法2

$t = e^x$ とおくと、$x$ が実数全体を動くとき $t > 0$ であり、$t$ は $x$ に関して単調増加である。与えられた関数を $t$ の関数 $g(t)$ として表す。

$$g(t) = \frac{t - \frac{1}{t}}{\left(t + \frac{1}{t}\right)^2} = \frac{\frac{t^2 - 1}{t}}{\frac{(t^2 + 1)^2}{t^2}} = \frac{t(t^2 - 1)}{(t^2 + 1)^2}$$

$g(t)$ を $t$ について微分する。

$$g'(t) = \frac{(3t^2 - 1)(t^2 + 1)^2 - t(t^2 - 1) \cdot 2(t^2 + 1) \cdot 2t}{(t^2 + 1)^4}$$

$$= \frac{(3t^2 - 1)(t^2 + 1) - 4t^2(t^2 - 1)}{(t^2 + 1)^3}$$

$$= \frac{(3t^4 + 2t^2 - 1) - (4t^4 - 4t^2)}{(t^2 + 1)^3}$$

$$= \frac{-t^4 + 6t^2 - 1}{(t^2 + 1)^3}$$

$g'(t) = 0$ とすると、$-t^4 + 6t^2 - 1 = 0$ より、

$$t^2 = 3 \pm \sqrt{3^2 - 1} = 3 \pm 2\sqrt{2}$$

$t > 0$ より、

$$t = \sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \pm 1$$

$t$ と $x$ は単調な対応関係にあるため、$t$ による増減は $x$ による増減と一致する。 $t = \sqrt{2} - 1$ のとき極小となり、その値は、

$$g(\sqrt{2} - 1) = \frac{(\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} + 1)}{\{(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} + 1)\}^2} = -\frac{1}{4}$$

$t = \sqrt{2} + 1$ のとき極大となり、その値は、

$$g(\sqrt{2} + 1) = \frac{(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1)}{\{(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1)\}^2} = \frac{1}{4}$$

$t = e^x$ であるから、$x = \log(\sqrt{2} \mp 1)$ となる。

解説

微分の計算を正確に実行できるかが問われている。式の形から $t = e^x$ のように変数変換をすることで、有理関数の微分の問題に帰着させることができるため計算ミスを防ぎやすくなる。極値を求める際、$x$ の値を直接 $f(x)$ に代入するのではなく、$e^x$ と $e^{-x}$ の値を求めて代入すると計算が非常にスムーズになる。また、$3 \pm 2\sqrt{2}$ の二重根号を外す処理は典型的なので、確実にできるようにしておきたい。