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数学3 グラフ・増減・極値問題 10 解説

方針・初手

(1) は商の微分法を用いて計算する。

(2) は方程式 $f'(x)=0$ を変形して定数を分離し、残りの部分のグラフと定数を表す直線との交点の個数を調べる。

(3) は (2) で調べたグラフの上下関係から $f'(x)$ の符号変化を読み取り、増減表をかいて極値を判定する。極小値を求める際は、$f'(\beta)=0$ の関係式を用いて式の形を簡単にする。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x) = \frac{x}{e^2} + \frac{1+\log x}{x}$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{e^2} + \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (1+\log x) \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{1}{e^2} + \frac{1 - (1+\log x)}{x^2} \\ &= \frac{1}{e^2} - \frac{\log x}{x^2} \end{aligned}$$

さらに $f'(x)$ を微分する。

$$\begin{aligned} f''(x) &= - \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{x^4} \\ &= - \frac{x - 2x\log x}{x^4} \\ &= \frac{2\log x - 1}{x^3} \end{aligned}$$

(2)

方程式 $f'(x)=0$ は、

$$\frac{1}{e^2} - \frac{\log x}{x^2} = 0$$

$$\frac{\log x}{x^2} = \frac{1}{e^2}$$

と同値である。ここで、$g(x) = \frac{\log x}{x^2} \ (x>0)$ とおく。

$$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \log x \cdot 2x}{x^4} = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$$

$g'(x) = 0$ とすると、

$$1 - 2\log x = 0$$

$$\log x = \frac{1}{2}$$

$$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$

$g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\sqrt{e}$	$\cdots$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$
$g(x)$		$\nearrow$	$\frac{1}{2e}$	$\searrow$

また、極限は以下のようになる。

$$\lim_{x \to +0} g(x) = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{x^2} = -\infty$$

$$\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = 0$$

したがって、$y=g(x)$ のグラフは $x=\sqrt{e}$ で最大値 $\frac{1}{2e}$ をとる。

ここで、自然対数の底 $e$ は $e \approx 2.718 > 2$ であり、$2e < e^2$ であるから、両辺を $2e^3$ で割るなどして比較すると、

$$\frac{1}{2e} > \frac{1}{e^2} > 0$$

が成り立つ。

よって、$y=g(x)$ のグラフと直線 $y=\frac{1}{e^2}$ は、$0 < x < \sqrt{e}$ の範囲で1つ、$\sqrt{e} < x$ の範囲で1つの合計2つの共有点をもつ。

ゆえに、方程式 $f'(x)=0$ は相異なる2実数解をもつ。

(3)

(2) より、$f'(x)=0$ の2実数解 $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）は、$g(x) = \frac{1}{e^2}$ の解であるから、

$$0 < \alpha < \sqrt{e} < \beta$$

を満たす。

$f'(x) = \frac{1}{e^2} - g(x)$ であるから、$f'(x)$ の符号は $y=g(x)$ のグラフと直線 $y=\frac{1}{e^2}$ の上下関係から決まる。

$0 < x < \alpha$ のとき、$g(x) < \frac{1}{e^2}$ より $f'(x) > 0$

$\alpha < x < \beta$ のとき、$g(x) > \frac{1}{e^2}$ より $f'(x) < 0$

$x > \beta$ のとき、$g(x) < \frac{1}{e^2}$ より $f'(x) > 0$

したがって、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\alpha$	$\cdots$	$\beta$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

これより、$f(x)$ は $x=\alpha$ で極大値、$x=\beta$ で極小値をもつことが示された。

次に極小値 $f(\beta)$ を求める。$\beta$ は $f'(x)=0$ の解であるから、

$$\frac{1}{e^2} - \frac{\log \beta}{\beta^2} = 0$$

$$\log \beta = \frac{\beta^2}{e^2}$$

が成り立つ。これを用いて $f(\beta)$ を変形する。

$$\begin{aligned} f(\beta) &= \frac{\beta}{e^2} + \frac{1+\log \beta}{\beta} \\ &= \frac{\beta}{e^2} + \frac{1+\frac{\beta^2}{e^2}}{\beta} \\ &= \frac{\beta}{e^2} + \frac{1}{\beta} + \frac{\beta}{e^2} \\ &= \frac{2\beta}{e^2} + \frac{1}{\beta} \end{aligned}$$

解説

微積分を用いた関数の増減と方程式の解の個数に関する標準的な問題である。

(2) では、$f'(x)=0$ をそのまま微分してグラフを描くのではなく、定数分離の形に持ち込むことで、調べるべき関数をシンプルにできる。最大値 $\frac{1}{2e}$ と直線 $y=\frac{1}{e^2}$ の大小関係の比較において、$e > 2$ を用いるのがポイントである。

(3) では、$f(x)$ の極値を求める際、$f'(\beta)=0$ という条件から得られる関係式 $\log \beta = \frac{\beta^2}{e^2}$ を用いて、関数に含まれる対数部分を消去することで、式を簡潔に表現できる。このような関係式を用いた式の簡単化は極値を求める問題で頻出のテクニックである。