数学3 グラフ・増減・極値 問題 11 解説

方針・初手

点と直線の距離の公式を用いて、3点から直線までの距離の平方和 $S$ を $m$ の式として表す。得られた $S(m)$ について、微分を用いて増減や凹凸を調べ、極限値も考慮してグラフの概形を描くという標準的な微分の応用問題である。

解法1

直線の方程式 $y = mx + 1$ は、一般形に変形すると以下のようになる。

$$mx - y + 1 = 0$$

3点 $\text{A}(-1, 0)$、$\text{B}(1, 3)$、$\text{C}(2, 0)$ からこの直線への距離をそれぞれ $d_A$、$d_B$、$d_C$ とすると、点と直線の距離の公式より、以下が成り立つ。

$$\begin{aligned} d_A &= \frac{|m \cdot (-1) - 0 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}} \\ d_B &= \frac{|m \cdot 1 - 3 + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|m - 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} \\ d_C &= \frac{|m \cdot 2 - 0 + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|2m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} \end{aligned}$$

したがって、求める距離の平方和 $S$ は次のようになる。

$$\begin{aligned} S &= d_A^2 + d_B^2 + d_C^2 \\ &= \frac{(1 - m)^2}{m^2 + 1} + \frac{(m - 2)^2}{m^2 + 1} + \frac{(2m + 1)^2}{m^2 + 1} \\ &= \frac{(m^2 - 2m + 1) + (m^2 - 4m + 4) + (4m^2 + 4m + 1)}{m^2 + 1} \\ &= \frac{6m^2 - 2m + 6}{m^2 + 1} \end{aligned}$$

ここで、$S$ を微分しやすくするために、分子の次数を下げる変形を行う。

$$S = \frac{6(m^2 + 1) - 2m}{m^2 + 1} = 6 - \frac{2m}{m^2 + 1}$$

次に、$m$ の関数 $S$ の極値と変曲点を調べるために、$S$ を $m$ で微分する。

$$\begin{aligned} S' &= -\frac{2(m^2 + 1) - 2m \cdot 2m}{(m^2 + 1)^2} \\ &= -\frac{-2m^2 + 2}{(m^2 + 1)^2} \\ &= \frac{2(m^2 - 1)}{(m^2 + 1)^2} \\ &= \frac{2(m - 1)(m + 1)}{(m^2 + 1)^2} \end{aligned}$$

$S' = 0$ となるのは、$m = \pm 1$ のときである。

さらに第二次導関数 $S''$ を求める。

$$\begin{aligned} S'' &= \frac{4m(m^2 + 1)^2 - 2(m^2 - 1) \cdot 2(m^2 + 1) \cdot 2m}{(m^2 + 1)^4} \\ &= \frac{4m(m^2 + 1) - 8m(m^2 - 1)}{(m^2 + 1)^3} \\ &= \frac{4m^3 + 4m - 8m^3 + 8m}{(m^2 + 1)^3} \\ &= \frac{-4m^3 + 12m}{(m^2 + 1)^3} \\ &= \frac{-4m(m^2 - 3)}{(m^2 + 1)^3} \\ &= \frac{-4m(m - \sqrt{3})(m + \sqrt{3})}{(m^2 + 1)^3} \end{aligned}$$

$S'' = 0$ となるのは、$m = 0, \pm\sqrt{3}$ のときである。

これらをもとに、$S$ の増減と凹凸の表を作成する。

各点における $S$ の値は以下の通り。

$$\begin{aligned} S(-1) &= 6 - \frac{-2}{2} = 7 \\ S(1) &= 6 - \frac{2}{2} = 5 \\ S(0) &= 6 \\ S(-\sqrt{3}) &= 6 - \frac{-2\sqrt{3}}{4} = 6 + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ S(\sqrt{3}) &= 6 - \frac{2\sqrt{3}}{4} = 6 - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

また、$m \to \pm\infty$ の極限を調べると、

$$\lim_{m \to \pm\infty} S = \lim_{m \to \pm\infty} \left( 6 - \frac{2m}{m^2 + 1} \right) = 6$$

となるため、直線 $y = 6$ はグラフの漸近線である。

以上より、グラフの概形は以下の特徴を持つ。

• 漸近線は $y = 6$
• 点 $(-1, 7)$ で極大となり、点 $(1, 5)$ で極小となる。
• 変曲点は $\left(-\sqrt{3}, 6 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $(0, 6)$, $\left(\sqrt{3}, 6 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ の3つ。
• 関数 $S(m) - 6 = - \frac{2m}{m^2 + 1}$ は奇関数であるため、グラフは点 $(0, 6)$ に関して点対称な形となる。

解説

関数の式をそのまま微分してもよいが、$S = \frac{6m^2 - 2m + 6}{m^2 + 1}$ を $S = 6 - \frac{2m}{m^2 + 1}$ と変形することで、微分の計算負担が大幅に軽減される。分子と分母の次数に着目して「帯分数化」する（分子の次数を分母より低くする）操作は、分数関数の微分における定石である。また、極限から漸近線の存在を確認することもグラフの概形を描く上で不可欠である。

答え

$$S = \frac{6m^2 - 2m + 6}{m^2 + 1}$$

極値：

$m = -1$ のとき、極大値 $7$

$m = 1$ のとき、極小値 $5$

変曲点：

$$\left( -\sqrt{3}, 6 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right), \quad (0, 6), \quad \left( \sqrt{3}, 6 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

グラフの概形は、これらの極値と変曲点を通り、漸近線 $y=6$ に近づきながら増減を繰り返す曲線となる（点 $(0,6)$ に関して対称）。