数学3 グラフ・増減・極値問題 12 解説

方針・初手

関数 $y=f(x)$ のグラフが原点に対して点対称であることは、定義域が原点に対して対称であり、かつ定義域内のすべての $x$ において $f(-x) = -f(x)$ が成り立つことを示せばよい。

点 $(p, q)$ についての点対称性を示す場合は、グラフを $x$ 軸方向に $-p$、$y$ 軸方向に $-q$ だけ平行移動した関数が原点対称となることを示すか、関係式 $f(p+x) + f(p-x) = 2q$ を示すのが定石である。本問の (2) では、まず第2次導関数から変曲点 $(p, q)$ を求め、平行移動によって原点対称性に帰着させる方針をとる。

解法1

(1)

$f(x) = \log \frac{x+1}{1-x}$ とする。

定義域は $-1 < x < 1$ であり、これは原点に対して対称な区間である。

$f(-x)$ を計算すると、以下のようになる。

$$f(-x) = \log \frac{-x+1}{1-(-x)} = \log \frac{1-x}{1+x}$$

対数の性質より、真数の逆数をとると符号が反転するため、次のように変形できる。

$$\log \frac{1-x}{1+x} = \log \left( \frac{x+1}{1-x} \right)^{-1} = -\log \frac{x+1}{1-x} = -f(x)$$

すべての定義域の $x$ において $f(-x) = -f(x)$ が成り立つため、関数 $y = \log \frac{x+1}{1-x}$ のグラフは原点に対して点対称である。(証明終)

(2)

$g(x) = \log \frac{x-a}{b-x}$ ($a < x < b$) とする。

対数の性質を用いて、微分しやすい形に変形する。

$$g(x) = \log(x-a) - \log(b-x)$$

$x$ で微分して、第1次導関数を求める。

$$g'(x) = \frac{1}{x-a} - \frac{1}{b-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x-a} + \frac{1}{b-x}$$

さらに $x$ で微分して、第2次導関数を求める。

$$g''(x) = -\frac{1}{(x-a)^2} + \frac{1}{(b-x)^2} \cdot (-1) \cdot (-1) = -\frac{1}{(x-a)^2} + \frac{1}{(b-x)^2}$$

通分して分子を整理する。

$$\begin{aligned} g''(x) &= \frac{-(b-x)^2 + (x-a)^2}{(x-a)^2(b-x)^2} \\ &= \frac{-(x^2 - 2bx + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2)}{(x-a)^2(b-x)^2} \\ &= \frac{2(b-a)x - (b^2 - a^2)}{(x-a)^2(b-x)^2} \\ &= \frac{(b-a)(2x - (a+b))}{(x-a)^2(b-x)^2} \end{aligned}$$

$g''(x) = 0$ とすると、$a < b$ より $b-a > 0$ であるため、以下の式が成り立つ。

$$2x - (a+b) = 0 \iff x = \frac{a+b}{2}$$

$x = \frac{a+b}{2}$ は定義域 $a < x < b$ を満たす。また、その前後で $2x - (a+b)$ の符号が負から正へ変わるため、$g''(x)$ の符号も変わり、この点は変曲点となる。

このときの $y$ 座標は、

$$g\left( \frac{a+b}{2} \right) = \log \frac{\frac{a+b}{2} - a}{b - \frac{a+b}{2}} = \log \frac{\frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2}} = \log 1 = 0$$

よって、変曲点は $\left( \frac{a+b}{2}, 0 \right)$ である。

次に、グラフがこの変曲点に対して点対称であることを示す。関数 $y=g(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\frac{a+b}{2}$ だけ平行移動した関数 $y = h(x)$ を考える。

$$\begin{aligned} h(x) &= g\left( x + \frac{a+b}{2} \right) \\ &= \log \frac{\left( x + \frac{a+b}{2} \right) - a}{b - \left( x + \frac{a+b}{2} \right)} \\ &= \log \frac{x + \frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2} - x} \end{aligned}$$

平行移動後の定義域は、元の定義域 $a < x + \frac{a+b}{2} < b$ より $-\frac{b-a}{2} < x < \frac{b-a}{2}$ となり、原点に対して対称である。

ここで、$h(-x)$ を計算する。

$$h(-x) = \log \frac{-x + \frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2} - (-x)} = \log \frac{\frac{b-a}{2} - x}{\frac{b-a}{2} + x}$$

真数の逆数をとり、符号を反転させる。

$$\log \frac{\frac{b-a}{2} - x}{\frac{b-a}{2} + x} = \log \left( \frac{x + \frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2} - x} \right)^{-1} = - \log \frac{x + \frac{b-a}{2}}{\frac{b-a}{2} - x} = -h(x)$$

$h(-x) = -h(x)$ が成り立つため、平行移動した関数 $y=h(x)$ のグラフは原点に対して点対称である。ゆえに、元の関数 $y=g(x)$ のグラフは変曲点 $\left( \frac{a+b}{2}, 0 \right)$ に対して点対称である。(証明終)

解説

関数のグラフの対称性を示す定石問題である。

(1) は基本的な原点対称性の証明であり、$f(-x) = -f(x)$ を示すだけでよい。

(2) は (1) の一般化となっている。微分の計算においては、真数が分数の形をした対数関数をそのまま商の微分法で処理すると計算が煩雑になりやすい。$\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ と分解してから微分するのが、計算ミスを防ぐための重要なテクニックである。

点 $(p, q)$ についての対称性を示す際、今回はグラフを平行移動して原点対称性の証明に帰着させた。これは (1) の形を直接利用できるため、見通しが良い。別の方法として、関数上の任意の点に対する中点が $(p, q)$ になること、すなわち $g(p+x) + g(p-x) = 2q$ を計算して示す方法でも同様に証明可能である。