数学3 グラフ・増減・極値 問題 15 解説

方針・初手

与えられた式を関数 $f(x) = \frac{2^x - 2x}{x - 1}$ とおき、$0 < x < 1$ におけるこの関数の増減を調べる。

そのまま商の微分法を用いて導関数の符号を調べてもよいが、分子を少し変形して式を切り離すことで、計算の見通しが良くなる。また、変形した式をグラフ上の「2点間を結ぶ直線の傾き」と見なすことで、微分の計算を回避する図形的な解法も可能である。

解法1

関数 $f(x) = \frac{2^x - 2x}{x - 1}$ とおく。

$$f(x) = \frac{2^x - 2 - 2(x - 1)}{x - 1} = \frac{2^x - 2}{x - 1} - 2$$

ここで、$g(x) = \frac{2^x - 2}{x - 1}$ とし、$0 < x < 1$ における $g(x)$ の増減を調べる。

$g(x)$ を $x$ について微分すると、

$$g'(x) = \frac{2^x \log 2 \cdot (x - 1) - (2^x - 2) \cdot 1}{(x - 1)^2}$$

この導関数の符号を調べるため、分子を $h(x) = 2^x (x - 1) \log 2 - 2^x + 2$ とおく。

$h(x)$ を $x$ について微分すると、

$$h'(x) = 2^x (\log 2)^2 \cdot (x - 1) + 2^x \log 2 \cdot 1 - 2^x \log 2 = 2^x (\log 2)^2 (x - 1)$$

$0 < x < 1$ において、$2^x > 0$、$(\log 2)^2 > 0$、$x - 1 < 0$ であるから、$h'(x) < 0$ となる。

よって、$h(x)$ は $0 < x \leqq 1$ において単調減少する。

また、$x = 1$ のとき、

$$h(1) = 2^1 \cdot 0 \cdot \log 2 - 2^1 + 2 = 0$$

したがって、$0 < x < 1$ において常に $h(x) > h(1) = 0$ が成り立つ。

これより、$0 < x < 1$ において $g'(x) = \frac{h(x)}{(x - 1)^2} > 0$ となり、$g(x)$ は単調増加することがわかる。

$f(x) = g(x) - 2$ であるから、$f(x)$ も $0 < x < 1$ において単調増加する。

条件より $0 < a < b < 1$ であるから、$f(a) < f(b)$ が成り立つ。

すなわち、

$$\frac{2^a - 2a}{a - 1} < \frac{2^b - 2b}{b - 1}$$

解法2

関数 $f(x) = \frac{2^x - 2x}{x - 1}$ を以下のように変形する。

$$f(x) = \frac{2^x - 2 - 2x + 2}{x - 1} = \frac{2^x - 2}{x - 1} - \frac{2(x - 1)}{x - 1} = \frac{2^x - 2}{x - 1} - 2$$

この式の第1項 $\frac{2^x - 2}{x - 1}$ は、$xy$ 平面上の曲線 $y = 2^x$ 上の点 $\mathrm{P}(x, 2^x)$ と定点 $\mathrm{A}(1, 2)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AP}$ の傾きを表している。

関数 $y = 2^x$ について、$y' = 2^x \log 2$、$y'' = 2^x (\log 2)^2 > 0$ であるから、この曲線は常に下に凸である。

下に凸の曲線において、定点 $\mathrm{A}$ と動点 $\mathrm{P}$ を結ぶ直線の傾きは、$x$ 座標が増加するにつれて単調に増加する。

したがって、$0 < a < b < 1$ のとき、点 $(a, 2^a)$ と $\mathrm{A}(1, 2)$ を結ぶ直線の傾きよりも、点 $(b, 2^b)$ と $\mathrm{A}(1, 2)$ を結ぶ直線の傾きの方が大きい。

すなわち、

$$\frac{2^a - 2}{a - 1} < \frac{2^b - 2}{b - 1}$$

が成り立つ。

この両辺から $2$ を引くと、

$$\frac{2^a - 2}{a - 1} - 2 < \frac{2^b - 2}{b - 1} - 2$$

$$\frac{2^a - 2a}{a - 1} < \frac{2^b - 2b}{b - 1}$$

解説

関数の増減を利用して式の大小を比較する標準的な問題である。

解法1のようにそのまま微分しても解くことができるが、商の微分によって現れる分子を新たな関数とおき、さらに微分して符号を判定するという2段階の処理が必要になる。

解法2のように、式を「変化の割合（2点間を結ぶ直線の傾き）」と解釈し、関数のグラフの凸性を利用する解法は非常に見通しが良い。数式が持つ図形的な意味を読み取ることで、複雑な計算を大幅に省略できるため、ぜひ身につけておきたい考え方である。

答え

$$\frac{2^a - 2a}{a - 1} < \frac{2^b - 2b}{b - 1}$$