数学3 グラフ・増減・極値問題 17 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ について、定義域 $-1 < x < 1$ における導関数と第2次導関数を計算し、関数の増減と凹凸を調べる問題である。 (1)、(2)では微分の計算を正確に行い、増減表の根拠となる $f'(x)$ と $f''(x)$ の符号を判断する。 (3)は中間値の定理の典型的な応用であり、与えられた極限の式を用いて端点における値を評価する。 (4)はこれまでの結果を統合してグラフの概形を描くための情報を整理する。

解法1

(1)

$f(x) = ax - (1+x)\log(1+x) - (1-x)\log(1-x)$ 両辺を $x$ で微分すると、積の微分公式と合成関数の微分公式より、

$$f'(x) = a - \left\{ \log(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} \right\} - \left\{ -\log(1-x) + (1-x) \cdot \frac{-1}{1-x} \right\}$$

$$f'(x) = a - \{ \log(1+x) + 1 \} - \{ -\log(1-x) - 1 \}$$

$$f'(x) = a - \log(1+x) + \log(1-x)$$

$$f'(x) = a - \log \frac{1+x}{1-x}$$

さらに $x$ で微分すると、

$$f''(x) = - \frac{1}{1+x} + \frac{-1}{1-x}$$

$$f''(x) = - \frac{(1-x) + (1+x)}{(1+x)(1-x)}$$

$$f''(x) = - \frac{2}{1-x^2}$$

$-1 < x < 1$ において、$0 < 1-x^2 \le 1$ であるから、常に $f''(x) < 0$ が成り立つ。（証明終）

(2)

(1)より、$-1 < x < 1$ において $f''(x) < 0$ であるから、$f'(x)$ は単調減少関数である。 $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$a - \log \frac{1+x}{1-x} = 0$$

$$\frac{1+x}{1-x} = e^a$$

$$1+x = e^a(1-x)$$

$$(1+e^a)x = e^a - 1$$

$$x = \frac{e^a-1}{e^a+1}$$

$a > 0$ より $e^a > 1$ であるため、求めた $x$ は $-1 < \frac{e^a-1}{e^a+1} < 1$ を満たす。この値を $x_0$ とすると、$f'(x)$ は単調減少であるため、$x < x_0$ のとき $f'(x) > 0$、$x > x_0$ のとき $f'(x) < 0$ となる。したがって、$f(x)$ は $x = x_0$ で極大かつ最大となる。最大値を与える $x$ の値 $x_0$ は、

$$x_0 = \frac{e^a-1}{e^a+1}$$

(3)

$a=1$ のとき、

$$f(x) = x - (1+x)\log(1+x) - (1-x)\log(1-x)$$

(2)の結果より、$f(x)$ の最大値を与える $x$ の値 $x_0$ は、

$$x_0 = \frac{e-1}{e+1}$$

$e > 1$ であるから、$x_0 > 0$ である。 $x = 0$ のときの関数の値を計算すると、

$$f(0) = 0 - 1 \cdot \log 1 - 1 \cdot \log 1 = 0$$

区間 $0 \le x \le x_0$ において $f'(x) \ge 0$ より $f(x)$ は単調増加であるから、$f(x_0) > f(0) = 0$ である。次に、$x \to 1-0$ の極限を考える。

$$\lim_{x \to 1-0} f(x) = 1 - 2\log 2 - \lim_{x \to 1-0} (1-x)\log(1-x)$$

$t = 1-x$ とおくと、$x \to 1-0$ のとき $t \to +0$ であり、問題文の条件 $\lim_{t \to +0} t\log t = 0$ を用いると、

$$\lim_{x \to 1-0} (1-x)\log(1-x) = \lim_{t \to +0} t\log t = 0$$

よって、

$$\lim_{x \to 1-0} f(x) = 1 - 2\log 2 = \log e - \log 4 < 0$$

区間 $x_0 \le x < 1$ において $f(x)$ は連続であり単調減少する。 $f(x_0) > 0$ かつ $\lim_{x \to 1-0} f(x) < 0$ であるから、中間値の定理により、$f(x_1) = 0$ となる $x_1$ が $x_0 < x_1 < 1$ の範囲に少なくとも1つ存在する。 $x_0 > 0$ より、題意を満たす $0 < x_1 < 1$ が存在することが示された。（証明終）

(4)

これまでの結果から、$a=1$ のときの $y=f(x)$ のグラフの概形を描くための増減や凹凸をまとめる。 (1)より $f''(x) < 0$ であるため、グラフは常に上に凸である。極限について、$x \to 1-0$ は(3)より $\lim_{x \to 1-0} f(x) = 1 - 2\log 2$ である。同様に、$x \to -1+0$ の極限を考えると、$t = 1+x$ として $\lim_{t \to +0} t\log t = 0$ を用いると、

$$\lim_{x \to -1+0} f(x) = -1 - \lim_{x \to -1+0} (1+x)\log(1+x) - 2\log 2 = -1 - 2\log 2$$

グラフが通る主要な点は $(0, 0)$ であり、$x = x_0 = \frac{e-1}{e+1}$ のとき最大値をとる。また、(3)より $x_0 < x_1 < 1$ に $x$ 軸との交点 $(x_1, 0)$ をもつ。

これらの情報から、グラフの概形は点 $(-1, -1-2\log 2)$ を白丸として出発し、常に上に凸で単調増加し、原点 $(0, 0)$ を通る。さらに増加して $x = \frac{e-1}{e+1}$ で最大値となり、その後は単調減少に転じ、$(x_1, 0)$ で $x$ 軸と交わり、点 $(1, 1-2\log 2)$ の白丸に近づく曲線として描くことができる。

解説

関数に含まれる対数の微分や、第2次導関数を用いた増減・凹凸の判定、端点の極限の扱いなど、数学IIIの微積分における基本的な手法を網羅した標準的な問題である。 (1)での微分の計算ミスが後半全てに響くため、合成関数の微分を用いて慎重に計算することが求められる。 (3)では「解の存在」を示すために中間値の定理を用いる典型的な流れであり、端点の極限値の符号を調べる過程で $e$ と $4$ の大小関係に基づく比較（$1 - 2\log 2 < 0$）が必要となる。 (4)のグラフの概形については、定義域の両端が含まれないため端点を白丸とし、常に上に凸であることを意識して描くことが重要である。