数学3 グラフ・増減・極値問題 18 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ について微分し、導関数 $f'(x)$ を求める。その後、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を指定された区間内で探し、増減表を作成して極値を判定する。導関数の計算においては、積の微分法および合成関数の微分法を用い、さらに三角関数の合成を利用して式を整理することで符号の判定を容易にする。

解法1

関数 $f(x) = 2e^{\pi x} \sin(\pi x)$ を $x$ について微分する。積の微分法より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (2e^{\pi x})' \sin(\pi x) + 2e^{\pi x} (\sin(\pi x))' \\ &= 2\pi e^{\pi x} \sin(\pi x) + 2e^{\pi x} \cdot \pi \cos(\pi x) \\ &= 2\pi e^{\pi x} (\sin(\pi x) + \cos(\pi x)) \end{aligned}$$

となる。ここで、括弧内の式に対して三角関数の合成を用いると、

$$f'(x) = 2\sqrt{2}\pi e^{\pi x} \sin\left(\pi x + \frac{\pi}{4}\right)$$

となる。

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。 $e^{\pi x} > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ のとき、

$$\sin\left(\pi x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

である。与えられた区間は $-1 < x < 1$ であり、このとき $\pi x + \frac{\pi}{4}$ のとり得る値の範囲は、

$$-\frac{3}{4}\pi < \pi x + \frac{\pi}{4} < \frac{5}{4}\pi$$

となる。この範囲において $\sin\left(\pi x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$ を満たすのは、

$$\pi x + \frac{\pi}{4} = 0, \pi$$

のときである。これらを $x$ について解くと、

$$x = -\frac{1}{4}, \frac{3}{4}$$

となる。

これをもとに、$-1 < x < 1$ における $f(x)$ の増減表を作成すると以下のようになる。

$x$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{1}{4}$	$\cdots$	$\frac{3}{4}$	$\cdots$	$1$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = -\frac{1}{4}$ で極小値をとり、$x = \frac{3}{4}$ で極大値をとる。

それぞれの極値を計算する。 $x = -\frac{1}{4}$ のとき、極小値は

$$\begin{aligned} f\left(-\frac{1}{4}\right) &= 2e^{-\frac{\pi}{4}} \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ &= 2e^{-\frac{\pi}{4}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &= -\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}} \end{aligned}$$

となる。

$x = \frac{3}{4}$ のとき、極大値は

$$\begin{aligned} f\left(\frac{3}{4}\right) &= 2e^{\frac{3}{4}\pi} \sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) \\ &= 2e^{\frac{3}{4}\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2} e^{\frac{3}{4}\pi} \end{aligned}$$

となる。

解説

指数関数と三角関数の積で表された関数の極値を求める、微分法の標準的な問題である。積の微分法と合成関数の微分法を正確に実行することが第一歩となる。

導関数 $f'(x)$ を計算した後に現れる $\sin(\pi x) + \cos(\pi x)$ の部分は、そのままでは符号の変化を追うのが難しいため、三角関数の合成を用いて一つのサイン関数 $\sqrt{2}\sin\left(\pi x + \frac{\pi}{4}\right)$ にまとめるのが定石である。これにより、$f'(x) = 0$ となる方程式が解きやすくなり、増減表を作成する際の符号判定も容易になる。

また、定義域が $-1 < x < 1$ と限定されているため、角度 $\pi x + \frac{\pi}{4}$ のとり得る範囲を正確に求めたうえで、方程式の解を過不足なく拾い上げる慎重さが求められる。