数学3 グラフ・増減・極値 問題 19 解説

方針・初手

与えられた関数の第2次導関数を計算し、変曲点となる $x$ の値を求める。変曲点は第2次導関数が $0$ となり、かつその前後で第2次導関数の符号が変化する点である。求めた $x$ の値を元の関数に代入し、$y$ 座標を計算する。

解法1

与えられた関数を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = x^3 + 3x^2 + 5$$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 + 6x$$

さらに $x$ について微分すると、

$$f''(x) = 6x + 6$$

変曲点となるための必要条件は $f''(x) = 0$ である。

$$6x + 6 = 0$$

これを解くと、

$$x = -1$$

$x < -1$ のとき $f''(x) < 0$ （上に凸）、$x > -1$ のとき $f''(x) > 0$ （下に凸）となり、$x = -1$ の前後で $f''(x)$ の符号が負から正へ変化する。 したがって、$x = -1$ は変曲点の $x$ 座標である。

このときの $y$ 座標は、$f(x)$ に $x = -1$ を代入して求める。

$$\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 + 5 \\ &= -1 + 3 + 5 \\ &= 7 \end{aligned}$$

よって、求める変曲点の $y$ 座標は $7$ である。

解説

変曲点を求める基本的な計算問題である。第2次導関数を求め、$f''(x) = 0$ となる $x$ を探すのが定石である。

注意点として、$f''(x) = 0$ は変曲点であるための必要条件にすぎないため、厳密にはその前後で $f''(x)$ の符号が変化することを確認する必要がある。ただし、本問のような3次関数の場合、$x^3$ の係数が $0$ ではないため、必ず1つの変曲点をもち、$f''(x) = 0$ の解がそのまま変曲点の $x$ 座標となる。

答え

$7$