数学3 グラフ・増減・極値問題 20 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ が $x = \alpha$ で極値をとるための必要条件は、$f(x)$ が $x = \alpha$ で微分可能であり、かつ $f'(\alpha) = 0$ となることである。

本問では、$x = -2$ で極小値 $\frac{1}{2}$ をとり、$x = 1$ で極大値 $2$ をとるという条件が与えられている。したがって、まずは必要条件として $f(-2) = \frac{1}{2}$、$f(1) = 2$、$f'(-2) = 0$、$f'(1) = 0$ を満たす $a, b, c$ の関係式を導き、それらを連立して定数の値を求める。

ただし、$f'(\alpha) = 0$ は極値をとるための必要条件に過ぎないため、求めた $a, b, c$ の値に対して、実際に $x = -2$ で極小値、$x = 1$ で極大値をとるかどうかの十分性を確認する必要がある。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x^2+2}$$

商の微分公式を用いて $f(x)$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{(2ax+b)(x^2+2) - (ax^2+bx+c) \cdot 2x}{(x^2+2)^2} \\ &= \frac{2ax^3 + 4ax + bx^2 + 2b - 2ax^3 - 2bx^2 - 2cx}{(x^2+2)^2} \\ &= \frac{-bx^2 + (4a-2c)x + 2b}{(x^2+2)^2} \end{aligned}$$

関数 $f(x)$ が $x = -2$ と $x = 1$ で極値をとるための必要条件は、$f'(-2) = 0$ かつ $f'(1) = 0$ である。

$$f'(-2) = \frac{-b(-2)^2 + (4a-2c)(-2) + 2b}{((-2)^2+2)^2} = \frac{-4b - 8a + 4c + 2b}{36} = \frac{-8a - 2b + 4c}{36}$$

$f'(-2) = 0$ より、分子が $0$ になるため、

$$-8a - 2b + 4c = 0 \iff 4a + b - 2c = 0 \quad \cdots \text{①}$$

また、$x = 1$ のとき、

$$f'(1) = \frac{-b \cdot 1^2 + (4a-2c) \cdot 1 + 2b}{(1^2+2)^2} = \frac{-b + 4a - 2c + 2b}{9} = \frac{4a + b - 2c}{9}$$

$f'(1) = 0$ より、こちらも①と同じ式が得られる。

次に、極値の値についての条件 $f(-2) = \frac{1}{2}$ と $f(1) = 2$ を立式する。

$$f(-2) = \frac{a(-2)^2 + b(-2) + c}{(-2)^2 + 2} = \frac{4a - 2b + c}{6}$$

これが $\frac{1}{2}$ に等しいので、

$$\frac{4a - 2b + c}{6} = \frac{1}{2} \iff 4a - 2b + c = 3 \quad \cdots \text{②}$$

同様に、$f(1) = 2$ より、

$$f(1) = \frac{a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c}{1^2 + 2} = \frac{a + b + c}{3}$$

これが $2$ に等しいので、

$$\frac{a + b + c}{3} = 2 \iff a + b + c = 6 \quad \cdots \text{③}$$

得られた①、②、③の式を連立して解く。

③より、$c = 6 - a - b$。これを②に代入する。

$$4a - 2b + (6 - a - b) = 3$$

$$3a - 3b = -3 \iff b = a + 1$$

$b = a + 1$ を③の変形した式に代入し、$c$ を $a$ で表す。

$$c = 6 - a - (a + 1) = 5 - 2a$$

これら $b = a + 1$ と $c = 5 - 2a$ を①に代入する。

$$4a + (a + 1) - 2(5 - 2a) = 0$$

$$5a + 1 - 10 + 4a = 0$$

$$9a - 9 = 0 \iff a = 1$$

$a = 1$ のとき、$b = 1 + 1 = 2$、$c = 5 - 2 \cdot 1 = 3$ となる。したがって、求める定数の候補は $a = 1, b = 2, c = 3$ である。

【十分性の確認】

$a = 1, b = 2, c = 3$ のとき、元の関数とその導関数は以下のようになる。

$$f(x) = \frac{x^2+2x+3}{x^2+2}$$

$$f'(x) = \frac{-2x^2 + (4-6)x + 4}{(x^2+2)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 4}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x^2+x-2)}{(x^2+2)^2} = \frac{-2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -2, 1$ のときである。すべての実数 $x$ において分母 $(x^2+2)^2 > 0$ であるため、$f'(x)$ の符号は分子の $-2(x+2)(x-1)$ の符号と一致する。

$x < -2$ のとき、$f'(x) < 0$ $-2 < x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$ $x > 1$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$f(x)$ は $x = -2$ の前後で減少から増加に転じるため極小値を取り、その値は、

$$f(-2) = \frac{(-2)^2+2(-2)+3}{(-2)^2+2} = \frac{4-4+3}{6} = \frac{1}{2}$$

また、$x = 1$ の前後で増加から減少に転じるため極大値を取り、その値は、

$$f(1) = \frac{1^2+2 \cdot 1+3}{1^2+2} = \frac{1+2+3}{3} = 2$$

以上より、この $a, b, c$ の値は問題の条件を満たしている。

解説

関数の極値に関する典型的な問題である。重要なポイントは、「$x = \alpha$ で極値をとる $\implies f'(\alpha) = 0$」は成り立つが、逆の「$f'(\alpha) = 0 \implies x = \alpha$ で極値をとる」は必ずしも成り立たないという点である（たとえば $y=x^3$ の $x=0$ における挙動など）。

そのため、必要条件として立式して文字の値を求めた後、必ずその値で元の関数が題意通りの極値をもつことを確認する（十分性の確認）プロセスが採点において重視される。この確認を怠ると大幅な減点対象となるため、増減表の作成や導関数の符号変化の記述を忘れないようにしたい。