数学3 グラフ・増減・極値問題 21 解説

方針・初手

(1) 対数関数の真数条件から定義域を求める。 (2) 合成関数の微分法を用いて導関数を計算する。 (3) 関数が極値をもつ条件は、導関数の符号が変化することである。定義域内において導関数の分母は常に正となるため、分子の関数の符号変化に着目する。分子を3次関数として捉え、その増減と極値を調べることで条件を導出する。

解法1

(1)

対数の真数条件より

$$x^3 + 1 > 0$$

左辺を因数分解すると

$$(x + 1)(x^2 - x + 1) > 0$$

ここで、すべての実数 $x$ に対して

$$x^2 - x + 1 = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$

が成り立つため、上の不等式を満たす条件は

$$x + 1 > 0 \iff x > -1$$

よって、関数 $f(x)$ の定義域は $x > -1$ である。

(2)

合成関数の微分法を用いて $f(x)$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x)' - a \frac{(x^3 + 1)'}{x^3 + 1} \\ &= 1 - a \frac{3x^2}{x^3 + 1} \\ &= \frac{x^3 + 1 - 3ax^2}{x^3 + 1} \\ &= \frac{x^3 - 3ax^2 + 1}{x^3 + 1} \end{aligned}$$

(3)

(1) より、定義域 $x > -1$ において分母は $x^3 + 1 > 0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は分子 $x^3 - 3ax^2 + 1$ の符号と一致する。分子を $g(x) = x^3 - 3ax^2 + 1$ とおき、$x > -1$ における $g(x)$ の符号変化を調べる。

$g(x)$ を微分すると

$$\begin{aligned} g'(x) &= 3x^2 - 6ax \\ &= 3x(x - 2a) \end{aligned}$$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2a$ のときである。 $a$ は正の定数であるから $2a > 0$ となり、$g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2a$	$\cdots$
$g'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$1-4a^3$	$\nearrow$

また、区間の左端 $x \to -1+0$ における値を考えると

$$g(-1) = (-1)^3 - 3a(-1)^2 + 1 = -3a$$

$a > 0$ より $g(-1) < 0$ である。

増減表と $g(-1) < 0$ であることから、$y = g(x)$ のグラフは $x = 0$ で極大値 $1 \ (>0)$ をとるため、$-1 < x < 0$ の範囲で $x$ 軸とただ1回交わる。この交点の $x$ 座標を $\alpha$ ($-1 < \alpha < 0$) とすると、$x = \alpha$ の前後で $g(x)$ の符号は負から正へと変化する。すなわち、$f'(x)$ の符号も負から正へと変化するため、$f(x)$ は $x = \alpha$ で極小となる。

$f(x)$ がただ1つの極値をもつためには、これ以外に $x > -1$ の範囲で $g(x)$ の符号変化が起こらないことが条件となる。すでに $x = 0$ において $g(0) > 0$ であるため、$x > 0$ の範囲において常に $g(x) \ge 0$ が成り立てばよい。 $x > 0$ において $g(x)$ は $x = 2a$ で最小値をとるから、求める条件は

$$g(2a) \ge 0$$

すなわち

$$1 - 4a^3 \ge 0$$

これを解いて

$$a^3 \le \frac{1}{4}$$

$a$ は実数であるから

$$a \le \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$

問題の条件 $a > 0$ と合わせて、求める $a$ の値の範囲は

$$0 < a \le \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$$

解説

対数関数を含む関数の微積分に関する標準的な問題である。 (3) では、極値の個数が導関数の符号変化の回数と一致することを利用する。分母が常に正であることを確認した上で、分子の3次関数のグラフの概形を捉える方針をとることで、問題を「3次方程式の実数解の個数・配置問題」へと帰着させることができる。極値をもつための条件として「$f'(x) = 0$ が実数解をもつこと」だけでなく、「その解の前後で $f'(x)$ の符号が変化すること」が必要である点に注意したい。$g(2a) = 0$ となる場合も、符号が正から正へと変化しない（接する）ため極値とはならず、条件を満たす。