数学3 グラフ・増減・極値問題 24 解説

方針・初手

分数関数 $g(x)$ が極値をとる $x$ の値を求める問題である。素直に導関数 $g'(x)$ を計算し、$g'(x) = 0$ となる $x$ を見つけるのが王道である。また、分子が定数であることに着目し、分母の2次関数の増減から関数全体の極値を判断することもできる。

解法1

関数 $g(x) = \frac{1}{(x-a)(x-b)}$ について、合成関数の微分法、あるいは商の微分法を用いる。

$$g(x) = \{ (x-a)(x-b) \}^{-1} = \{ x^2 - (a+b)x + ab \}^{-1}$$

であるから、両辺を $x$ について微分すると、

$$g'(x) = -1 \cdot \{ x^2 - (a+b)x + ab \}^{-2} \cdot (2x - (a+b))$$

$$g'(x) = - \frac{2x - (a+b)}{\{ (x-a)(x-b) \}^2}$$

となる。$g(x)$ が極値をとるための必要条件は $g'(x) = 0$ であるから、

$$2x - (a+b) = 0$$

より、

$$x = \frac{a+b}{2}$$

を得る。

ここで、$x = \frac{a+b}{2}$ の前後における $g'(x)$ の符号変化を調べる。分母 $\{ (x-a)(x-b) \}^2$ は $x \neq a, b$ において常に正である。したがって、$g'(x)$ の符号は分子 $- (2x - (a+b))$ の符号と一致する。

$x < \frac{a+b}{2}$ のとき、$2x - (a+b) < 0$ より $g'(x) > 0$ であり、$g(x)$ は単調増加する。

$x > \frac{a+b}{2}$ のとき、$2x - (a+b) > 0$ より $g'(x) < 0$ であり、$g(x)$ は単調減少する。

したがって、$g(x)$ は $x = \frac{a+b}{2}$ において単調増加から単調減少に転じるため、極大値をとる。ゆえに、極値をとる $x$ の値は $x = \frac{a+b}{2}$ である。

解法2

分子が定数 $1$ であるため、分母の関数 $h(x) = (x-a)(x-b)$ の増減を調べる。

$h(x)$ は $x$ の2次関数であり、展開して平方完成すると、

$$h(x) = x^2 - (a+b)x + ab = \left( x - \frac{a+b}{2} \right)^2 - \frac{(a-b)^2}{4}$$

となる。$a < b$ より $h(x)$ は $x = \frac{a+b}{2}$ を軸とする下に凸の放物線であり、頂点の $y$ 座標は負である。

$h(x)$ の増減と符号は以下のようになる。

$x < a$ のとき、$h(x) > 0$ で単調減少
$a < x < \frac{a+b}{2}$ のとき、$h(x) < 0$ で単調減少
$\frac{a+b}{2} < x < b$ のとき、$h(x) < 0$ で単調増加
$x > b$ のとき、$h(x) > 0$ で単調増加

$g(x) = \frac{1}{h(x)}$ であるから、$g(x)$ の増減は同じ符号の区間において $h(x)$ の増減と逆になる。したがって、区間 $(a, b)$ において、

$a < x < \frac{a+b}{2}$ では $g(x)$ は単調増加
$\frac{a+b}{2} < x < b$ では $g(x)$ は単調減少

となる。よって、$g(x)$ は $x = \frac{a+b}{2}$ で極大値をとり、これが唯一の極値である。

解説

分数関数の極値を求める基本的な穴埋め問題である。微分法を用いる解法（解法1）が最も確実で汎用性が高い。極値をもつことを厳密に示すためには、$g'(x) = 0$ となる点だけでなく、その前後で導関数の符号が変化することを確認する必要がある。一方、分子が定数であるという形に注目すれば、分母の2次関数の増減から関数全体の増減を直感的に捉えることもできる（解法2）。この考え方は、微分の計算が煩雑な場合に計算量を減らす有効な手段となる。