数学3 グラフ・増減・極値 問題 25 解説

方針・初手

対数関数を含む関数の微分と、増減・極値、さらに第2次導関数を用いた凹凸の判定を行う、微分法の標準的な問題である。 まず、真数条件より定義域が $x > 0$ であることを確認する。 (1)では、商の微分公式を用いて $f'(x)$ を計算し、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。このとき、$f'(x)$ の分子に含まれる $(\log x)^{n-1}$ の符号変化が $n$ の偶奇によって異なるため、場合分けが必要になることに注意する。 (2)では、$n=3$ としてさらに $f''(x)$ を計算し、増減・凹凸表を作成する。関数の極限 $\lim_{x \to +0} f(x)$ と $\lim_{x \to \infty} f(x)$ も調べ、漸近線をもとにグラフの概形を把握する。

解法1

真数条件より、関数 $f(x)$ の定義域は $x > 0$ である。

(1)

関数 $f(x)$ を微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\left\{n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}\right\} \cdot x - (\log x)^n \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{n(\log x)^{n-1} - (\log x)^n}{x^2} \\ &= \frac{(\log x)^{n-1}(n - \log x)}{x^2} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$\log x = 0$ または $\log x = n$ であるから、

$$x = 1, e^n$$

$x > 0$ における $f'(x)$ の符号変化は、$n$ の偶奇によって異なる。

(i) $n$ が奇数のとき $n-1$ は偶数であるから、常に $(\log x)^{n-1} \ge 0$ となる。 したがって、$f'(x)$ の符号は $n - \log x$ の符号と一致する。 $0 < x < e^n$ のとき $f'(x) \ge 0$ （$x=1$ で $f'(x)=0$ となるが、その前後で符号は正のままで変化しない） $x > e^n$ のとき $f'(x) < 0$ よって、$f(x)$ は $0 < x \le e^n$ で単調に増加し、$x \ge e^n$ で単調に減少する。 $x = e^n$ のとき、極大値をとる。

$$f(e^n) = \frac{(\log e^n)^n}{e^n} = \frac{n^n}{e^n} = \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

(ii) $n$ が偶数のとき $n-1$ は奇数であるから、$(\log x)^{n-1}$ は $x=1$ の前後で負から正に符号を変える。 また、$n - \log x$ は $x = e^n$ の前後で正から負に符号を変える。 したがって、増減表は以下のようになる。

よって、$f(x)$ は $0 < x \le 1$ で単調に減少し、$1 \le x \le e^n$ で単調に増加し、$x \ge e^n$ で単調に減少する。 極値は以下の通りである。 極小値: $f(1) = 0$ 極大値: $f(e^n) = \left(\frac{n}{e}\right)^n$

(2)

$n=3$ のとき、関数は $f(x) = \frac{(\log x)^3}{x}$ となる。 (1)より、

$$f'(x) = \frac{(\log x)^2(3 - \log x)}{x^2} = \frac{3(\log x)^2 - (\log x)^3}{x^2}$$

これをさらに微分する。

$$\begin{aligned} f''(x) &= \frac{\left\{6(\log x) \cdot \frac{1}{x} - 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}\right\} x^2 - \{3(\log x)^2 - (\log x)^3\} \cdot 2x}{x^4} \\ &= \frac{6\log x - 3(\log x)^2 - 6(\log x)^2 + 2(\log x)^3}{x^3} \\ &= \frac{2(\log x)^3 - 9(\log x)^2 + 6\log x}{x^3} \\ &= \frac{\log x \{2(\log x)^2 - 9\log x + 6\}}{x^3} \end{aligned}$$

$f''(x) = 0$ とすると、$\log x = 0$ または $2(\log x)^2 - 9\log x + 6 = 0$ となる。 これを解くと、

$$\log x = 0, \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{4}$$

すなわち、

$$\log x = 0, \frac{9 \pm \sqrt{33}}{4}$$

ここで、$\alpha = \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$、$\beta = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}$ とおく。 $5 < \sqrt{33} < 6$ であるから、 $\alpha = \frac{9 - \sqrt{33}}{4} > \frac{9 - 6}{4} = \frac{3}{4} > 0$ $\alpha = \frac{9 - \sqrt{33}}{4} < \frac{9 - 5}{4} = 1$ $\beta = \frac{9 + \sqrt{33}}{4} > \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 > 3$ したがって、$0 < \alpha < 3 < \beta$ であるから、$1 < e^\alpha < e^3 < e^\beta$ の大小関係が成り立つ。

これをもとに、増減および凹凸の表を作成する。

また、極限について調べる。 $x \to +0$ のとき、$\log x \to -\infty$、$x \to +0$ であるから、

$$\lim_{x \to +0} f(x) = -\infty$$

$x \to \infty$ のとき、

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$$

これより、漸近線は $x$ 軸（$y=0$）および $y$ 軸（$x=0$）である。

グラフは以下の特徴を持つ。

• 定義域は $x > 0$ であり、$y$ 軸の右側に存在する。
• 第4象限の遥か下方から立ち上がり、$(1,0)$ で $x$ 軸に接するように通過する。この点は変曲点でもある。
• $x = e^\alpha$ の変曲点で上に凸に変わり、$x = e^3$ で極大値 $\frac{27}{e^3}$ をとる。
• その後減少し、$x = e^\beta$ の変曲点で下に凸に変わりながら、$x$ 軸に漸近していく。

解説

(1) では、微分の計算自体は標準的であるが、$f'(x)$ の符号を調べる際に $n$ の偶奇による場合分けに気づけるかがポイントとなる。$(\log x)^{n-1}$ の項が偶数乗か奇数乗かによって、$x=1$ の前後での符号変化が異なる。常に場合分けを意識して符号判定を行う必要がある。

(2) では、第2次導関数 $f''(x)$ の計算がやや煩雑になるため、整理しながら正確に計算する力が求められる。$f''(x) = 0$ の解として無理数が現れるが、$\sqrt{33}$ のおおよその値を評価し、極値をとる $x=e^3$ との位置関係（大小関係）を正しく把握することが重要である。漸近線の極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^3}{x} = 0$ については、高校数学の範囲では既知として用いて差し支えないことが多い。

答え

(1)

$n$ が奇数のとき：

$0 < x \le e^n$ で単調増加、$x \ge e^n$ で単調減少。

極大値: $x = e^n$ のとき $\left(\frac{n}{e}\right)^n$

極小値: なし

$n$ が偶数のとき：

$0 < x \le 1$、$x \ge e^n$ で単調減少、$1 \le x \le e^n$ で単調増加。

極大値: $x = e^n$ のとき $\left(\frac{n}{e}\right)^n$

極小値: $x = 1$ のとき $0$

(2)

$\alpha = \frac{9 - \sqrt{33}}{4}$、$\beta = \frac{9 + \sqrt{33}}{4}$ とする。

区間 $(0, 1)$、$(e^\alpha, e^\beta)$ において上に凸（$f''(x) < 0$）。

区間 $(1, e^\alpha)$、$(e^\beta, \infty)$ において下に凸（$f''(x) > 0$）。

変曲点は $(1, 0)$、$(e^\alpha, f(e^\alpha))$、$(e^\beta, f(e^\beta))$ の3点。

漸近線は $x=0$ および $y=0$。

グラフはこれらを反映した概形となる。