数学3 グラフ・増減・極値 問題 27 解説

方針・初手

(1) は $\triangle\text{OAB}$ の面積公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$ を用いれば、最大となる $\theta$ の値はすぐに分かります。このときの三角形の形状から $t, \text{AH}, \text{BH}$ を求めます。(2) は「$\text{OH} \perp \text{AB}$ すなわち $\overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$」という条件を立式して $t$ について解きます。(3) は (2) で求めた $t$ を $\theta$ の関数とみて微分し、導関数の符号を調べます。

解法1

(1)

$\triangle\text{OAB}$ の面積を $S$ とすると、次のように表される。

$$S = \frac{1}{2} \text{OA} \cdot \text{OB} \sin\theta = \frac{1}{2} ab \sin\theta$$

$0 < \theta < \pi$ の範囲で $\sin\theta \leqq 1$ であり、等号は $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき成り立つ。$a, b$ は正の定数であるから、$S$ が最大となるのは $\theta = \frac{\pi}{2}$ のときである。

このとき、$\angle\text{AOB} = \frac{\pi}{2}$ の直角三角形となるので、$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = 0$ である。 $\text{OH} \perp \text{AB}$ であるから、$\overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$ が成り立つ。

$$\overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = \left\{ t \overrightarrow{\text{OA}} + (1-t) \overrightarrow{\text{OB}} \right\} \cdot \left( \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OA}} \right) = 0$$

これを展開すると、以下のようになる。

$$-t \left| \overrightarrow{\text{OA}} \right|^2 + t \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} + (1-t) \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} + (1-t) \left| \overrightarrow{\text{OB}} \right|^2 = 0$$

$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = 0$, $\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = a$, $\left| \overrightarrow{\text{OB}} \right| = b$ を代入する。

$$-ta^2 + (1-t)b^2 = 0$$

$$t(a^2 + b^2) = b^2$$

$a, b > 0$ より $a^2 + b^2 \neq 0$ であるから、

$$t = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$$

また、三平方の定理より $\text{AB} = \sqrt{a^2 + b^2}$ である。 条件より $\overrightarrow{\text{OH}} = t\overrightarrow{\text{OA}} + (1-t)\overrightarrow{\text{OB}}$ であるため、点 $\text{H}$ は線分 $\text{AB}$ を $(1-t) : t$ に内分する点である。したがって、

$$\text{AH} = (1-t) \text{AB} = \left( 1 - \frac{b^2}{a^2 + b^2} \right) \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{a^2}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

$$\text{BH} = t \text{AB} = \frac{b^2}{a^2 + b^2} \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

(2)

一般の $\theta \ (0 < \theta < \pi)$ について考える。 $\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = ab\cos\theta$ である。 $\text{OH} \perp \text{AB}$ より $\overrightarrow{\text{OH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0$ が成り立つので、(1)と同様に展開する。

$$\left\{ t \overrightarrow{\text{OA}} + (1-t) \overrightarrow{\text{OB}} \right\} \cdot \left( \overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OA}} \right) = 0$$

$$-t a^2 + t ab\cos\theta + (1-t) ab\cos\theta + (1-t) b^2 = 0$$

これを $t$ について整理する。

$$-t(a^2 - 2ab\cos\theta + b^2) + b^2 - ab\cos\theta = 0$$

$$t(a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta) = b(b - a\cos\theta)$$

余弦定理より $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = \text{AB}^2 > 0$ であるから、両辺を割ることができる。

$$t = \frac{b(b - a\cos\theta)}{a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta}$$

(3)

(2) で求めた $t$ を $\theta$ で微分する。

$$\frac{dt}{d\theta} = \frac{ab\sin\theta(a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta) - b(b - a\cos\theta)(2ab\sin\theta)}{(a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta)^2}$$

分子を計算する。

$$\begin{aligned} (\text{分子}) &= ab\sin\theta \left\{ (a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta) - 2(b^2 - ab\cos\theta) \right\} \\ &= ab\sin\theta (a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta - 2b^2 + 2ab\cos\theta) \\ &= ab\sin\theta (a^2 - b^2) \end{aligned}$$

ここで、$a, b$ は正の定数であり $a > b$ であるから、$ab > 0$ かつ $a^2 - b^2 > 0$ である。 また、$0 < \theta < \pi$ の範囲において $\sin\theta > 0$ である。 したがって、$(\text{分子}) > 0$ となる。 分母は $(a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta)^2 > 0$ であるから、$\frac{dt}{d\theta} > 0$ が成り立つ。

よって、$\theta$ が増加するとき、$t$ は単調に増加する。

解説

ベクトルの内積と図形の基本的な性質を組み合わせた標準的な問題です。(1), (2) ともに $\text{OH} \perp \text{AB}$ という図形的な条件をベクトルの内積が $0$ になるという式に翻訳して計算を進めます。

(3) の微分計算は、合成関数の微分を用いて $x = \cos\theta$ と置いて計算することも可能です。その場合は $0 < \theta < \pi$ において $x$ は $\theta$ に対して単調減少することに注意し、$\frac{dt}{dx} < 0$ を示すことになります。そのまま $\theta$ で微分する方が、共通因数 $ab\sin\theta$ でくくりやすく計算の負担が少ないです。最後に $a > b$ という問題文の条件が符号判定で効いてくる構成がきれいです。

答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}$

$t = \frac{b^2}{a^2 + b^2}$

$\text{AH} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$\text{BH} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

(2) $t = \frac{b^2 - ab\cos\theta}{a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta}$

(3) $\theta$ について微分し、$\frac{dt}{d\theta} = \frac{ab\sin\theta(a^2 - b^2)}{(a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta)^2}$ を得る。$a>b>0$ と $0<\theta<\pi$ より $\frac{dt}{d\theta} > 0$ が成り立つため、$t$ は増加することが示された。