数学3 グラフ・増減・極値問題 28 解説

方針・初手

(1) は積分変数が $t$ であることに注意し、$x$ を定数扱いして積分を実行する。あらかじめ展開するか、$x$ を積分記号の外に出してから計算するとよい。
(2) は得られた $g(x)$ について、導関数 $g'(x)$ および第2次導関数 $g''(x)$ を計算し、符号の変化から増減と凹凸を調べる。
(3) は (2) で求めた表に基づき、極値、変曲点、$x$軸との交点を意識してグラフの形状をまとめる。
(4) はグラフの上下関係を把握し、定積分を用いて面積を計算する。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x) = x^2 - 3x + 1$ より、$f(t) = t^2 - 3t + 1$ である。これを $g(x)$ の定義式に代入して計算する。積分変数は $t$ であるため、$x$ は定数として扱う。

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_0^x (x - 2t)(t^2 - 3t + 1) dt \\ &= \int_0^x \{x(t^2 - 3t + 1) - 2t(t^2 - 3t + 1)\} dt \\ &= x \int_0^x (t^2 - 3t + 1) dt - 2 \int_0^x (t^3 - 3t^2 + t) dt \\ &= x \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + t \right]_0^x - 2 \left[ \frac{1}{4}t^4 - t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^x \\ &= x \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x \right) - 2 \left( \frac{1}{4}x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right) \\ &= \frac{1}{3}x^4 - \frac{3}{2}x^3 + x^2 - \frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - x^2 \\ &= -\frac{1}{6}x^4 + \frac{1}{2}x^3 \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より $g(x) = -\frac{1}{6}x^4 + \frac{1}{2}x^3$ であるから、これを微分して $g'(x)$ と $g''(x)$ を求める。

$$g'(x) = -\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 = -\frac{1}{6}x^2(4x - 9)$$

$$g''(x) = -2x^2 + 3x = -x(2x - 3)$$

$g'(x) = 0$ となるのは $x = 0, \frac{9}{4}$ のときである。 $g''(x) = 0$ となるのは $x = 0, \frac{3}{2}$ のときである。

これらをもとに $g(x)$ の増減、凹凸を調べると、次の表のようになる。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\frac{3}{2}$	$\cdots$	$\frac{9}{4}$	$\cdots$
$g'(x)$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$g''(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$g(x)$	$\nearrow$ 上凸	$0$	$\nearrow$ 下凸	$\frac{27}{32}$	$\nearrow$ 上凸	$\frac{729}{512}$	$\searrow$ 上凸

表より、極値および変曲点は以下の通りとなる。極大値: $x = \frac{9}{4}$ のとき $\frac{729}{512}$ 極小値: なし変曲点: $(0, 0), \left( \frac{3}{2}, \frac{27}{32} \right)$

(3)

関数 $g(x)$ を因数分解すると以下のようになる。

$$g(x) = -\frac{1}{6}x^4 + \frac{1}{2}x^3 = -\frac{1}{6}x^3(x - 3)$$

$g(x) = 0$ とすると $x = 0, 3$ であるため、$y = g(x)$ のグラフは $x$ 軸と原点および点 $(3, 0)$ で交わる。原点では $x$ 軸に接し、かつ変曲点となっている。 (2) の表に基づくグラフの概形の特徴をまとめると、以下のようになる。

点 $(0,0)$ を通り、ここで $x$ 軸と接しながら凹凸が入れ替わる（上に凸から下に凸へ）。
点 $\left( \frac{3}{2}, \frac{27}{32} \right)$ で再び凹凸が入れ替わる（下に凸から上に凸へ）。
点 $\left( \frac{9}{4}, \frac{729}{512} \right)$ で極大かつ最大となる。
点 $(3,0)$ で $x$ 軸と交わり、その後は減少を続ける。

(4)

(3) より、曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $x=0, 3$ である。区間 $0 \leqq x \leqq 3$ において $g(x) \geqq 0$ であるから、求める面積 $S$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_0^3 g(x) dx \\ &= \int_0^3 \left( -\frac{1}{6}x^4 + \frac{1}{2}x^3 \right) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{30}x^5 + \frac{1}{8}x^4 \right]_0^3 \\ &= -\frac{243}{30} + \frac{81}{8} \\ &= -\frac{81}{10} + \frac{81}{8} \\ &= 81 \left( -\frac{4}{40} + \frac{5}{40} \right) \\ &= \frac{81}{40} \end{aligned}$$

解説

(1) の定積分では、積分変数が $t$ であるため $x$ は定数として扱う点に注意する。 (2) の増減や凹凸を調べる際、導関数および第2次導関数の因数分解を正確に行い、符号の変化を丁寧に追うことが重要である。 (4) の面積計算では、(2) と (3) で調べたグラフの形から被積分関数の符号を正しく判定できる。計算ミスを防ぐために、共通因数をくくり出すなどの工夫を活用するとよい。

答え

(1) $g(x) = -\frac{1}{6}x^4 + \frac{1}{2}x^3$

(2)

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\frac{3}{2}$	$\cdots$	$\frac{9}{4}$	$\cdots$
$g'(x)$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$g''(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$
$g(x)$	$\nearrow$ 上凸	$0$	$\nearrow$ 下凸	$\frac{27}{32}$	$\nearrow$ 上凸	$\frac{729}{512}$	$\searrow$ 上凸