数学3 グラフ・増減・極値 問題 29 解説

方針・初手

(1) は導関数の定義通りに微分を行い、微分係数を求めて接線の方程式を導く。

(2) は第1次導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を計算し、増減と凹凸をまとめた表を作成する。関数の定義域が $x > 0$ であることに注意する。

(3) は対数関数と多項式の積の積分であるため、部分積分法を用いる。$x$ を $\left(\frac{1}{2}x^2\right)'$ とみなして計算を進める。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = x\{(\log x)^2 - 3\} \quad (x > 0)$$

積の微分法を用いて $f(x)$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x)' \cdot \{(\log x)^2 - 3\} + x \cdot \{(\log x)^2 - 3\}' \\ &= 1 \cdot \{(\log x)^2 - 3\} + x \cdot \left\{ 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right\} \\ &= (\log x)^2 + 2\log x - 3 \end{aligned}$$

$x = 1$ における微分係数 $f'(1)$ を求める。

$$f'(1) = (\log 1)^2 + 2\log 1 - 3 = -3$$

点 $(1, -3)$ における接線の方程式は、次のように求められる。

$$y - (-3) = -3(x - 1)$$

$$y = -3x$$

(2)

(1) で求めた $f'(x)$ より、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$f'(x) = (\log x + 3)(\log x - 1) = 0$$

これより $\log x = -3, 1$ となり、$x = e^{-3}, e$ である。

さらに、第2次導関数 $f''(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} f''(x) &= \{(\log x)^2 + 2\log x - 3\}' \\ &= 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{2(\log x + 1)}{x} \end{aligned}$$

$f''(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$\log x + 1 = 0$$

これより $\log x = -1$ となり、$x = e^{-1}$ である。

関数 $f(x)$ の定義域は $x > 0$ であり、$x > 0$ の範囲での $f(x)$ の増減および凹凸を調べるため、以下の増減表を作成する。

表より、$x = e^{-3}$ で極大値をとり、$x = e$ で極小値をとる。また、$x = e^{-1}$ の点が変曲点となる。

それぞれの値を計算する。

極大値は以下の通りである。

$$f(e^{-3}) = e^{-3} \{(-3)^2 - 3\} = 6e^{-3}$$

極小値は以下の通りである。

$$f(e) = e(1^2 - 3) = -2e$$

変曲点の $y$ 座標は以下の通りである。

$$f(e^{-1}) = e^{-1} \{(-1)^2 - 3\} = -2e^{-1}$$

(3)

求める定積分 $I$ は以下の通りである。

$$I = \int_{1}^{e} x \{(\log x)^2 - 3\} dx$$

部分積分法を用いて計算を行う。

$$\begin{aligned} I &= \int_{1}^{e} \left( \frac{1}{2}x^2 \right)' \{(\log x)^2 - 3\} dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}x^2 \{(\log x)^2 - 3\} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2}x^2 \cdot \left\{ 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \right\} dx \\ &= \frac{1}{2}e^2 (1^2 - 3) - \frac{1}{2} \cdot 1^2 (0 - 3) - \int_{1}^{e} x \log x dx \\ &= -e^2 + \frac{3}{2} - \int_{1}^{e} \left( \frac{1}{2}x^2 \right)' \log x dx \\ &= -e^2 + \frac{3}{2} - \left( \left[ \frac{1}{2}x^2 \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} dx \right) \\ &= -e^2 + \frac{3}{2} - \left( \frac{1}{2}e^2 \cdot 1 - 0 - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x dx \right) \\ &= -e^2 + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{e} \\ &= -\frac{3}{2}e^2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{4}(e^2 - 1) \\ &= -\frac{3}{2}e^2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} \\ &= -\frac{5}{4}e^2 + \frac{5}{4} \\ &= -\frac{5}{4}(e^2 - 1) \end{aligned}$$

解説

数学IIIの微分積分の基本的な処理を問う標準的な問題である。

(1) は積の微分法と合成関数の微分法を正確に計算できるかが問われている。

(2) の関数の増減と凹凸の調査では、極値の候補だけでなく第2次導関数の符号変化まで確実に調べる必要がある。また、真数条件より $x > 0$ となることに注意し、増減表の形を適切に設定することが重要である。

(3) の部分積分は、対数関数が含まれる場合の定石である「多項式側を積分する」という方針に従って2回繰り返すことで完答できる。符号のミスが起こりやすい箇所であるため、括弧を用いて丁寧に計算を進めることが求められる。

答え

(1)

$$y = -3x$$

(2)

極大値 $6e^{-3}$ （$x = e^{-3}$ のとき）

極小値 $-2e$ （$x = e$ のとき）

変曲点 $(e^{-1}, -2e^{-1})$

(3)

$$-\frac{5}{4}(e^2 - 1)$$