数学3 グラフ・増減・極値問題 30 解説

方針・初手

与えられた関数 $g(x)$ の定義域 $x > 0$ に注意し、方程式の解、および導関数 $g'(x)$、第2次導関数 $g''(x)$ を計算して関数の増減・凹凸を調べます。対数関数を含む分数関数の微分であるため、商の微分法と合成関数の微分法を用いて正確に計算を進めることが求められます。

解法1

(1)

曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は、$g(x) = 0$ の解である。

$$\frac{(1 - \log x)\log x}{x} = 0$$

$x > 0$ であるから、両辺に $x$ を掛けて、

$$(1 - \log x)\log x = 0$$

これより、$\log x = 0$ または $1 - \log x = 0$ すなわち $\log x = 1$ を得る。したがって、求める $x$ 座標は、

$$x = 1, e$$

(2), (3)

関数 $g(x)$ を $x$ について微分する。商の微分法を用いて、

$$g'(x) = \frac{\left( -\frac{1}{x} \cdot \log x + (1 - \log x) \cdot \frac{1}{x} \right) x - (1 - \log x)\log x \cdot 1}{x^2}$$

分子を整理すると、

$$g'(x) = \frac{(1 - 2\log x) - (\log x - (\log x)^2)}{x^2}$$

$$g'(x) = \frac{(\log x)^2 - 3\log x + 1}{x^2}$$

$g'(x) = 0$ とすると、$(\log x)^2 - 3\log x + 1 = 0$ となる。 $\log x$ についての2次方程式として解の公式を用いると、

$$\log x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

よって、$g'(x) = 0$ となる $x$ の値は、

$$x = e^{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}, e^{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$$

ここで、$\alpha = e^{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}$, $\beta = e^{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$ とおく（$0 < \alpha < \beta$）。 $x > 0$ において $x^2 > 0$ であるから、$g'(x)$ の符号は分子の $(\log x)^2 - 3\log x + 1$ の符号と一致する。 $X = \log x$ とおくと、関数 $Y = X^2 - 3X + 1$ は下に凸の放物線であり、$X = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ を境に符号が正 $\to$ 負 $\to$ 正と変化する。 $x$ の増加に伴って $\log x$ も単調に増加するため、$x$ を $\alpha, \beta$ の前後で動かしたときの $g'(x)$ の符号変化も同様になる。

したがって、$x = \alpha$ の前後で $g'(x)$ の符号は正から負に変わり、$x = \beta$ の前後で負から正に変わる。以上より、$g(x)$ の極大値を与える $x$ の値は $\alpha$、極小値を与える $x$ の値は $\beta$ である。

(4)

さらに $g'(x)$ を微分して第2次導関数 $g''(x)$ を求める。

$$g''(x) = \frac{\left( 2\log x \cdot \frac{1}{x} - \frac{3}{x} \right)x^2 - \left( (\log x)^2 - 3\log x + 1 \right) \cdot 2x}{(x^2)^2}$$

$$g''(x) = \frac{x(2\log x - 3) - 2x((\log x)^2 - 3\log x + 1)}{x^4}$$

分子を $x$ でくくって分母と約分し、整理する。

$$g''(x) = \frac{2\log x - 3 - 2(\log x)^2 + 6\log x - 2}{x^3}$$

$$g''(x) = \frac{-2(\log x)^2 + 8\log x - 5}{x^3}$$

$g''(x) = 0$ とすると、$-2(\log x)^2 + 8\log x - 5 = 0$ すなわち $2(\log x)^2 - 8\log x + 5 = 0$ となる。解の公式より、

$$\log x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 2 \cdot 5}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{2}$$

よって、$g''(x) = 0$ となる $x$ の値は、

$$x = e^{\frac{4 - \sqrt{6}}{2}}, e^{\frac{4 + \sqrt{6}}{2}}$$

$x > 0$ において $x^3 > 0$ であるから、$g''(x)$ の符号は分子の $-2(\log x)^2 + 8\log x - 5$ の符号と一致する。この式は $\log x$ の2次式として見ると上に凸の放物線を表すため、上記で求めた解の前後で符号が必ず変化する。第2次導関数の符号が変化する点が変曲点であるから、求める変曲点の $x$ 座標は上記の $x$ の値となる。

解説

関数の極値と変曲点を求める、微分法の標準的な計算問題です。商の微分法、および合成関数（対数関数）の微分を正確に実行できるかが問われています。導関数を求めた後、分子が $\log x$ の2次式になることに着目し、$\log x$ をひとつのカタマリとして扱うことで、2次方程式の解の公式を利用して $x$ の値を求めることができます。変曲点を求める際にも、$g''(x) = 0$ となる点を探すだけでなく、その前後で $g''(x)$ の符号が変化することを記述しておくことが、論理的な答案作成において重要です。