数学3 グラフ・増減・極値問題 32 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ と $g(x)$ は、ともに絶対値と偶数次の項のみで構成されているため、$f(-x) = f(x)$ および $g(-x) = g(x)$ を満たす偶関数です。したがって、グラフは $y$ 軸に関して対称になります。

まずは $x \geqq 0$ の範囲について絶対値を外し、微分を用いて増減を調べます。求めた $x \geqq 0$ での増減と偶関数の性質から、定義域全体である $-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$ での増減を明らかにし、グラフの概形を把握します。

面積の計算においては、$f(x) - g(x)$ を計算すると絶対値を含んだ厄介な項が相殺され、円の方程式の一部が現れることに着目します。

解法1

(1)

$f(x) = \sqrt{|x|} + \sqrt{5 - x^2}$ $g(x) = \sqrt{|x|} - \sqrt{5 - x^2}$

任意の $x$ について $f(-x) = f(x)$, $g(-x) = g(x)$ が成り立つため、$f(x)$ と $g(x)$ はともに偶関数であり、そのグラフは $y$ 軸に関して対称である。したがって、まず $0 \leqq x \leqq \sqrt{5}$ の範囲について調べる。

$0 \leqq x \leqq \sqrt{5}$ において $|x| = x$ であるから、

$$f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{5 - x^2}$$

$$g(x) = \sqrt{x} - \sqrt{5 - x^2}$$

$0 < x < \sqrt{5}$ において、$f(x), g(x)$ を $x$ で微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{5 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} \\ g'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{5 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}} \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{5 - x^2}}$$

両辺は正であるから、両辺を2乗して分母を払うと、

$$5 - x^2 = 4x^3$$

$$4x^3 + x^2 - 5 = 0$$

因数分解すると、

$$(x - 1)(4x^2 + 5x + 5) = 0$$

ここで、$4x^2 + 5x + 5 = 4 \left( x + \frac{5}{8} \right)^2 + \frac{55}{16} > 0$ であるため、実数解は $x = 1$ のみである。また、$0 < x < \sqrt{5}$ において、常に $g'(x) > 0$ である。

偶関数であることを考慮して、$-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$ 全体での増減表を作成すると以下のようになる。

$x$	$-\sqrt{5}$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\sqrt{5}$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\sqrt[4]{5}$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$\sqrt{5}$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$\sqrt[4]{5}$
$g'(x)$		$-$	$-$	$-$		$+$	$+$	$+$
$g(x)$	$\sqrt[4]{5}$	$\searrow$	$-1$	$\searrow$	$-\sqrt{5}$	$\nearrow$	$-1$	$\nearrow$	$\sqrt[4]{5}$

表より、増減は次の通り。 $f(x)$ は、$-\sqrt{5} \leqq x \leqq -1$ と $0 \leqq x \leqq 1$ で単調に増加し、$-1 \leqq x \leqq 0$ と $1 \leqq x \leqq \sqrt{5}$ で単調に減少する。 $g(x)$ は、$-\sqrt{5} \leqq x \leqq 0$ で単調に減少し、$0 \leqq x \leqq \sqrt{5}$ で単調に増加する。

グラフの概形は、上記の増減表にしたがって描く。特徴として、両曲線は端点 $(\pm\sqrt{5}, \sqrt[4]{5})$ で接し、その点での接線の傾きは $y$ 軸に平行（$\pm\infty$）となる。また、$x=0$ においては微分係数が発散するため、グラフは尖った点となる（$f(x)$ は下に凸な接線を持たず、$g(x)$ は上に凸な接線を持たない）。$f(x)$ のグラフは $y$ 軸対称なM字型、$g(x)$ のグラフは $y$ 軸対称なU字型となる。

(2)

増減表から、定義域 $-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$ において常に $f(x) \geqq g(x)$ が成り立つ。求める面積を $S$ とすると、$S$ は以下の定積分で与えられる。

$$S = \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \{ f(x) - g(x) \} dx$$

ここで、被積分関数を計算する。

$$f(x) - g(x) = \left( \sqrt{|x|} + \sqrt{5 - x^2} \right) - \left( \sqrt{|x|} - \sqrt{5 - x^2} \right) = 2\sqrt{5 - x^2}$$

したがって、求める面積は、

$$S = \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} 2\sqrt{5 - x^2} dx = 2 \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \sqrt{5 - x^2} dx$$

定積分 $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \sqrt{5 - x^2} dx$ の値は、曲線 $y = \sqrt{5 - x^2}$（$x^2 + y^2 = 5, y \geqq 0$）と $x$ 軸に囲まれた図形の面積を表す。これは原点を中心とする半径 $\sqrt{5}$ の半円の面積であるから、

$$\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \sqrt{5 - x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot \pi (\sqrt{5})^2 = \frac{5}{2}\pi$$

よって、求める面積 $S$ は、

$$S = 2 \times \frac{5}{2}\pi = 5\pi$$

解説

(1)について 絶対値を含む関数の微分では、そのまま微分するのではなく、符号が一定となる区間に分けて絶対値を外すのが基本です。また、偶関数や奇関数の対称性に気づくことで、微分や増減表を作成する手間を半分に減らすことができます。微分係数が $0$ となる方程式を解く際に、無理式を2乗することになりますが、2乗する前の式の符号条件（今回であれば両辺が正であること）を確認しておくことで、同値性を崩さずに解を導けます。

(2)について 関数 $f(x)$ と $g(x)$ が複雑な形をしていても、差をとることで劇的に簡単な形になるという、数学の問題における典型的な構成です。無理関数の積分が現れますが、$\sqrt{a^2 - x^2}$ を含む定積分は、置換積分（$x = \sqrt{5}\sin\theta$ など）を用いて計算することもできますが、図形的な意味（円の面積の一部）として捉えることで計算量を大幅に削減でき、ミスも防ぐことができます。