数学3 応用 問題 2 解説

方針・初手

速度ベクトルの大きさ（速さ）が与えられていることから、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ の関係式を導く。連鎖律を用いて $\frac{dy}{dt}$ を $\frac{dp}{dt}$ で表し、速さの条件式から $\frac{dp}{dt}$ を求める。その後、接線の方程式から点 $\text{Q}$ の座標を求め、線分 $\text{PQ}$ の長さ $l$ を $p$ で表し、合成関数の微分を用いて $\frac{dl}{dt}$ を求める。

解法1

(1)

点 $\text{P}$ の座標は $(x, y) = (p, 2\sqrt{p^3}) = (p, 2p^{\frac{3}{2}})$ である。 点 $\text{P}$ の速度ベクトル $\vec{v}$ の成分は $\left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$ であり、$x=p$ であるから、

$$\vec{v} = \left( \frac{dp}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)$$

となる。ここで合成関数の微分法により、

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dp} \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dp}(2p^{\frac{3}{2}}) \frac{dp}{dt} = 3p^{\frac{1}{2}} \frac{dp}{dt} = 3\sqrt{p} \frac{dp}{dt}$$

点 $\text{P}$ は一定の速さ $a$ で動いているため、$|\vec{v}|^2 = a^2$ が成り立つ。よって、

$$\left( \frac{dp}{dt} \right)^2 + \left( 3\sqrt{p} \frac{dp}{dt} \right)^2 = a^2$$

$$(1 + 9p) \left( \frac{dp}{dt} \right)^2 = a^2$$

点 $\text{P}$ は原点 $\text{O}$ を出発して曲線 $y=2\sqrt{x^3}$ $(x \geqq 0)$ 上を動くため、$x$ 座標である $p$ は増加する。したがって $\frac{dp}{dt} > 0$ であり、$a > 0$ と考えられるから、

$$\frac{dp}{dt} = \frac{a}{\sqrt{1+9p}}$$

(2)

曲線 $y=2x^{\frac{3}{2}}$ について、$y' = 3x^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{x}$ であるから、点 $\text{P}(p, 2p^{\frac{3}{2}})$ における接線の方程式は、

$$y - 2p^{\frac{3}{2}} = 3\sqrt{p} (x - p)$$

この接線と $x$ 軸との交点 $\text{Q}$ の $x$ 座標を求めるため、$y=0$ を代入すると、

$$-2p^{\frac{3}{2}} = 3\sqrt{p} (x - p)$$

$p > 0$ のとき、両辺を $\sqrt{p}$ で割って整理すると、

$$x - p = -\frac{2}{3}p$$

$$x = \frac{1}{3}p$$

よって、点 $\text{Q}$ の座標は $\left( \frac{p}{3}, 0 \right)$ となる。 線分 $\text{PQ}$ の長さ $l$ は、

$$\begin{aligned} l &= \sqrt{\left( p - \frac{p}{3} \right)^2 + \left( 2p^{\frac{3}{2}} - 0 \right)^2} \\ &= \sqrt{\left( \frac{2}{3}p \right)^2 + 4p^3} \\ &= \sqrt{\frac{4}{9}p^2 + 4p^3} \\ &= \sqrt{\frac{4}{9}p^2 (1 + 9p)} \end{aligned}$$

$p > 0$ であるから、$l = \frac{2}{3}p\sqrt{1+9p}$ となる。 求める速度 $\frac{dl}{dt}$ は、合成関数の微分法により $\frac{dl}{dt} = \frac{dl}{dp} \frac{dp}{dt}$ として計算できる。

$$\begin{aligned} \frac{dl}{dp} &= \frac{d}{dp} \left( \frac{2}{3}p (1+9p)^{\frac{1}{2}} \right) \\ &= \frac{2}{3} \left( 1 \cdot (1+9p)^{\frac{1}{2}} + p \cdot \frac{1}{2}(1+9p)^{-\frac{1}{2}} \cdot 9 \right) \\ &= \frac{2}{3} \left( \sqrt{1+9p} + \frac{9p}{2\sqrt{1+9p}} \right) \\ &= \frac{2}{3} \frac{2(1+9p) + 9p}{2\sqrt{1+9p}} \\ &= \frac{27p + 2}{3\sqrt{1+9p}} \end{aligned}$$

(1) の結果 $\frac{dp}{dt} = \frac{a}{\sqrt{1+9p}}$ を用いると、

$$\frac{dl}{dt} = \frac{27p + 2}{3\sqrt{1+9p}} \cdot \frac{a}{\sqrt{1+9p}} = \frac{a(27p + 2)}{3(9p + 1)}$$

(3)

(2) の結果より、

$$\begin{aligned} \lim_{p \to +\infty} \frac{dl}{dt} &= \lim_{p \to +\infty} \frac{a(27p + 2)}{3(9p + 1)} \\ &= \lim_{p \to +\infty} \frac{a \left( 27 + \frac{2}{p} \right)}{3 \left( 9 + \frac{1}{p} \right)} \\ &= \frac{a(27 + 0)}{3(9 + 0)} \\ &= a \end{aligned}$$

解説

媒介変数表示された曲線上を動く点の速度と、それに伴って変化する図形量の変化率を問う典型的な微積分の問題である。 速度ベクトルの大きさが速さであることと、連鎖律 $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$ などの合成関数の微分法を正確に使いこなすことが求められる。$t$ で微分すべきところを $p$ で微分しただけで終わりにしないよう、どの変数で微分しているかを常に意識することが重要である。(3) で極限が $a$ に一致することは、点 $\text{P}$ が原点から遠ざかると、接線が曲線自体に漸近し、線分 $\text{PQ}$ の長さの増加する速度が点 $\text{P}$ 自身の速さ $a$ に限りなく近づいていくことを意味している。

答え

(1)

$\frac{dp}{dt} = \frac{a}{\sqrt{1+9p}}$

(2)

$\frac{dl}{dt} = \frac{a(27p + 2)}{3(9p + 1)}$

(3)

$\lim_{p \to +\infty} \frac{dl}{dt} = a$