数学3 応用 問題 3 解説

方針・初手

時刻 $t$ における点Pの位置 $(x, y)$ を $t$ で微分し、速度ベクトルと加速度ベクトルの成分を求める。 与えられた条件「速度と加速度の大きさが等しい」を立式し、$t$ に関する三角方程式に帰着させて解く。

解法1

時刻 $t$ における点Pの座標 $(x, y)$ は

$$x = a \cos t, \quad y = b \sin t$$

である。

速度ベクトルを $\vec{v}$ とすると、

$$\vec{v} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right) = (-a \sin t, b \cos t)$$

であり、その大きさの2乗は

$$|\vec{v}|^2 = (-a \sin t)^2 + (b \cos t)^2 = a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t$$

となる。

また、加速度ベクトルを $\vec{\alpha}$ とすると、

$$\vec{\alpha} = \left( \frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2} \right) = (-a \cos t, -b \sin t)$$

であり、その大きさの2乗は

$$|\vec{\alpha}|^2 = (-a \cos t)^2 + (-b \sin t)^2 = a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t$$

となる。

点Pの速度の大きさと加速度の大きさが等しくなるとき、$|\vec{v}| = |\vec{\alpha}|$ である。 両辺ともに $0$ 以上であるから、$|\vec{v}|^2 = |\vec{\alpha}|^2$ と同値である。 したがって、

$$a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t = a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t$$

が成り立つ。

これを整理すると、

$$(a^2 - b^2)\sin^2 t - (a^2 - b^2)\cos^2 t = 0$$

$$(a^2 - b^2)(\sin^2 t - \cos^2 t) = 0$$

となる。

ここで、条件 $a > b > 0$ より $a^2 - b^2 > 0$ であるから、両辺を $a^2 - b^2$ で割って

$$\sin^2 t - \cos^2 t = 0$$

$$\cos^2 t - \sin^2 t = 0$$

を得る。

三角関数の2倍角の公式より、

$$\cos 2t = 0$$

となる。

$t \geqq 0$ より $2t \geqq 0$ であるから、この方程式を満たす $2t$ の値は

$$2t = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \cdots)$$

である。

よって、求める時刻 $t$ は

$$t = \frac{2n+1}{4}\pi \quad (n = 0, 1, 2, \cdots)$$

となる。

解説

平面上の点の運動における、速度ベクトルと加速度ベクトルの定義に関する基本的な問題である。 位置の成分表示を時間 $t$ で1回微分すれば速度、2回微分すれば加速度となる。 大きさを比較する際、そのまま平方根を用いて立式すると計算が煩雑になるため、両辺が非負であることを確認した上で2乗して比較するのが定石である。 また、三角方程式を解く際には、$\sin^2 t$ と $\cos^2 t$ の差が現れたところで2倍角の公式 $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$ を思い出すと、式が簡潔になり解きやすい。 $t$ の定義域が $t \geqq 0$ とされているため、解を一般角を用いて表す必要がある点に注意する。

答え

$t = \frac{2n+1}{4}\pi$ （$n$ は $0$ 以上の整数）